186 



selv blandt de største undersøgte Tal findes Primtalpar, hvis Interval kun er 2 Enheder, 

 saa at Intervallet mellem to paa hinanden følgende Primtal i Nærheden af et givet Tal kan 

 svinge mellem temmelig store Grænser. Den Funktion af æ, som udtrykker Mængden af 

 Primtal op til m inklusive — vi ville i det følgende betegne den ved 6(x) — vil derfor være 

 en diskontinuert Funktion, som vel stadig voxende varierer med Spring af en Enhed, men 

 hvor Afstanden mellem Springene vexler meget uregelmæssigt. 



Hvis man nu ikke stillede andre Fordringer til det analytiske Udtryk for Oir), end 

 at Formlen skulde fremstille denne Funktion i en eller anden Form, saa vilde Problemet 

 ikke være vanskeligt at løse. Med lidt Behændighed er det ikke vanskeligt at danne ana- 

 lytiske Udtryk f. Ex. i trigonometrisk Form, som blive 0, naar æ er et sammensat Tal, 

 1, naar æ er et Primtal, og ved saadanne kunde altsaa 6{x) fremstilles. Det vil til Bevis 

 for denne Paastand være tilstrækkeligt at henvise dels til Ramus's Doktordisputats 1 ) («De 

 funetionum formis etc.»), dels til Prof. Lorenz' Artikel «Om Primtalrækken» i Tidsskrift 

 for Mathematik 1878, eller til en Afhandling af Libri 2 ), hvor lignende Former opstilles. 

 Men Vanskeligheden kommer først frem, idet man tillige maa stille den Fordring, at den 

 fundue Formel skal kunne bruges til Beregning af Funktionen 0[x). Thi derved viser 

 det sig strax, at slige Former blive ubrugelige. Ja selv saadanne Midler som uendelige 

 trigonometriske eller andre analoge Rækker, navulig Udviklinger efter Kuglefunktioner, som 

 bevislig kunne bruges til Udvikling af arbitrære Funktioner, og som ogsaa her kunne an- 

 vendes, ville ikke kunne tilfredsstille denne Fordring. Thi omend slige Rækker, fortsatte i 

 det uendelige, kunne bruges — rent abstrakt taget — til Fremstilling af diskontinuerte 

 Funktioner, saa ville de dog i Nærheden af et Diskontinuitetspunkt blive saa langsomt 

 kom ergerende, at det vilde blive et forgjæves Arbejde at summere dem, og naar tilmed 

 som her Diskontinuitetspunkterne optræde i uendeligt Antal og fordelle over hele Talrækken, 

 saa kan man neppe vente at finde en saadan Form, at den vilde vise sig skikket til nume- 

 risk Beregning selv for saadanne x, som ikke svare til Diskontinuitetspunkterne. 



Noget mere kunde man vente sig af Benyttelsen af bestemte Integraler, det er 

 ogsaa ved Hjælp af saadanne, at Riemann opnaar sine Resultater. Men ogsaa her frem- 

 kommer en lignende Vanskelighed som ovenfor paapegel, omend i en noget anden Form. 

 Et Integral, som skal fremstille 6{x), maa nemlig ikke blot være diskontinuert, men da 

 selve Primtallene ikke explicite maa indgaa i det, saa maa det fremtræde i en saadan Form, 

 at Diskontinuiteten ikke tydelig træder frem. Allerede den Omstændighed, at Integralet 

 fremstiller en diskontinuert Funktion, vanskeliggjor Beregningen, thi det medfører, dels at 

 Integralets Elementer variere meget stærkt, og dels, at saadanne Rækkeudviklinger, f. Ex. 



M Rnmus: Tentamen ite funetionum formis, originibus et variationibus. Hauniæ MDCCCXXX1I. 

 2 ) Mémoire sur la théorie des nombres. Crelle's Journal lid. 9. 



