188 6 



at netop én bestemt og ikke nogen anden Funktionsform fremkommer, ikke ville findes ad 

 denne Vej. 



Af alle disse Grunde ville vi i den følgende Afhandling ikke nærmere forfølge nogen 

 af de ovenomtalte Veje, men kun — væsentlig til Sammenligning og Orientering — give 

 en Fremstilling af Biemann's Methode; derimod ville vi særlig benytte rent taltheoretiske 

 Mrllioder for at se, hvorvidt man ad denne Vej kan naa. Disse Methoder syues i Virke- 

 ligheden at fortjene en noget større Opmærksomhed, end der hidtil er bleven skjænket dem. 



Allerede Legend re har lært, hvorledes man ved Benyttelsen af Primtallene op til 

 ]/x kan finde Primtalmængden mellem l/.t og x ved Hjælp af ufuldstændige Kvotienter, og 

 Meissel har vist, at denne Beregning er praktisk udforlig selv for saa store Tal som 100 

 Millioner. En lignende Beregning er foretagen tidligere af Englænderen Hargreave og 

 senere af en fransk Forfatter, Piarron de Mondesi r. Det Held, disse Forfattere have 

 haft, ligger uden Tvivl deri, at de have anvendt virkelig diskontinuerte Funktionsformer og 

 navnlig saadanne, som væsentlig stemme med Problemets Natur. Russeren Bo ug aïe ff er 

 gaaet videre ad samme Vej og har angivet en Formel for selve 0(x). Formler af denne Art 

 ere endnu langt fra at være det, man maatte ønske, og lade sig navnlig ikke direkte omdanne 

 til analytiske Tilnærmelsesformler. Men de give en større Indsigt i den virkelige Natur af 

 Funktionen 0(x) og de Relationer, som sammenknytte den med andre lignende, end de tid- 

 ligere nævnte, og det er muligt, at fortsatte Undersøgelser af saadanne Former ogsaa ville 

 kunne lede til Opstillingen af brugbare Tilnærmelsesformler. Et væsentligt Skridt i lignende 

 Reining er paa et beslægtet Omraade gjort af Svenskeren Berger, der ved som Udgangs- 

 punkt at benytte en Formel, der oprindelig skyldes Dirichlet (Abhandlungen der Berliner 

 Akademie 1849), er naaet til at opstille en Bække mærkelige Formler, som angive 

 Middelværdierne af visse symmetriske Funktioner af et Tals Divisorer. Analoge Betragt- 

 ninger lade sig ogsaa anvende paa Primtallene , og ved at sammenknytte disse med visse 

 Undersøgelser af Tchebycheff kan man paa en ret simpel Maade komme til en Bestem- 

 melse af Primtallenes Middeltæthed og derigjennem atter til Tilnærmelsesformler for for- 

 skjellige Funktioner af Primtallene op til en given Grænse. Mærkeligt er det, at man ad 

 denne Vej faar tilvejebragt en Forbindelse mellem to saa forskjellige Methoder som de af 

 Tchebycheff og Riemann anvendte. 



Uagtet denne Methode synes at give gode Løfter om et heldigt Resultat, er det 

 dog ikke lykkedes mig at gjennemføre disse Undersøgelser paa den Maade, del var ønske- 

 ligt. Alligevel tror jeg dog, at denne Methode fortjener nogen Opmærksomhed, fordi den 

 i Virkeligheden giver en Indsigt i det paagjældende Problems Natur som ingen af de andre, 

 og fordi den rammer noget af det mest centrale i det. Og netop at forsøge paa at trænge 

 ind til Problemets Kjærne har været Hovedformaalet for nærværende Arbejde. Vi have der- 

 for fra først af stillet os paa det Standpunkt, i første Række at finde et exakt Udtryk for 



