ISO 



Primtalmængden eller for dermed beslægtede Funktioner, medens Spørgsmaalet om Tilnær- 

 melsesformler kun stilledes i anden Hække. 



Det er muligt, at man ved at stille sig paa det omvendte Standpunkt kunde liave 

 opnaaet tilsyneladende større Udbytte , men til Gjengjæld vilde den indbyrdes Sammenhæng 

 mellem de forskjellige Betragtningsmaader neppe være traadl saa klart frem, som \i nu 

 tro er Tilfældet. 



§ 1. Symmetriske Funktioner af alle Primtallene. 



Som Forberedelse til Studiet af Primtallenes Fordeling er det gavnligt at gjøre sig 

 bekjendt med forskjellige Relationer mellem Funktioner af Primtallene og visse Funktioner 

 af Tallene i den naturlige Talrække. Uagtet disse Relationer væsentlig tjene til Beregning 

 af visse symmetriske Funktioner af alle Primtal og altsaa ikke direkte kunne benyttes, 

 naar man kun medtager Primtallene op til en vis Grænse, saa spille de dog i alle Under- 

 søgelser om Primtal en saa stor Rolle, at man altid maa have dem paa rede Haand. Vi 

 ville derfor nedenfor samle disse under et, idet vi dog for Bevisernes Vedkommende i de 

 fleste Tilfælde nøjes med Henvisninger til de Forfattere, hos hvem de findes. Et Primtal 

 vil her som overalt i det følgende blive betegnet ved p, eller hvis der er flere saadanne, 

 ved a, b, c o. s.v., og det bemærkes endvidere udtrykkeligt, al vi ikke medregne 

 Tallet 1 iblandt Primtallene, saaledes som f. Ex. Glaisher gjør det. 



Allerede Euler 1 ) bar undersøgt Produkter af Formen //(I— ), hvori p efter- 



baanden tillægges de Værdier, som angives ved Primtallene. Et saadant Produkt vil som 



bekjendt 2 ) være konvergent, saafremt delte er Tilfældet med Rækken. 2—, altsaa, da 



,1,1 '' 



2 — < 2-—., hvor n — I, 2, 3 o. s. v., i hvert Fald for r > I. Udvikler man den reciproke 

 p n 



Værdi af hver af Faktorerne i Række, faas 



i- 1 11,1 



Y p r ) ' + p r + p 2r + p 3 '- + • • • ' 



og altsaa faar man, naar alle disse Faktorer multipliceres sammen, og Leddene ordnes eller 

 deres Størrelse, en Række, der kan skrives som 



') Inlroductio in Analysin infinilorum Cap. XV. 



! ) Weierstrass: Theorie der analytischen Facultäten, Crelle'a Journal Bd. 51. 



