190 



»M = i+^ + ^7 + ^ + ---' <" 



der er ubetinget konvergent, saalænge r> I. Derfor bliver altsaa 



ff(l--i)-' (2) 



Den samme Ligning vil endnu gjælde for komplexe r, for saa vidt mod r>l. Af denne 

 følger atter ved paa begge Sider at tage Logarithmen og udvikle i Række 



- r +i2— r + i2— r +.-.==ls(r) for r>1, (3) 



p' - p-' " p 6 ' 



V I 1 V L 1 V _ 



^r + ^^Tlij, 



og ligeledes ved Differentiation med Hensyn til r 



I °° s'fî'l 



Ip-'-l p + ^-^ + 2&r»fr + ••■== jfi 2n~nn = - ^ , ( 4 ) 



der ogsaa kan skrives som 

 Da man endvidere maa have 



°(>-t) ■«{>*$ ■■''(-?)■ 



/ 1 x 

 saa" kan ogsaa Værdien af Produkter af Formen //(I -| -I bestemmes ved Hjælp af de 



reciproke Potenssummer s{r), for saa vidi mod r > 1. For r— 1 maa //( I - —I blive 0, 



eftersom den reeiproke Værdi giver den harmoniske Række, Produktet //ll-f- — j maa 

 derfor blive uendeligt, og den Hække, som faas ved at udføre Multiplikationen, divergent. 



Udfores Multiplikationen af de enkelte Faktorer i Produktet //Il -\ , faas en 



Række, der kan skrives som 



Ih I - /)-') = I — Sa~ r -f 2er r b- r — Ia- r b- r c- r + ..., ( 5 ) 



hvor a,b,e... betegne forskj eilige Primtal. Da Rækken er ubetinget konvergent for »•>!, 



kunne Leddene i dette Tilfælde ordnes efter Størrelsen, hvorved faas 



//(I— />-'}= 1 — 2-'— 3-''- 5-'+ 6-' — 7—+I0— — II-'... = — . (6) 

 1 s(r) 



Man ser, at de enkelte Led indeholde rte Polens af saadanne Tal, som ikke ere 

 delelige med noget Kvadrattal, og med Forlegnet I— I)'", hvor m angiver 

 Antallet af det paagjældende Tals Primfaktorer. 



Betegner man altsaa ved fi(x) en Faktor, som for x = et Primtal eller et Produkt 

 af et ulige Antal forskjellige Primtal er lig — I , men for æ= I eller et Produkt af et lige 

 Antal forskjellige Primfaktorer er +'i ' andre Tilfælde lig 0, saa kan (6) skrives som 



//(l -?-'-') - !>(.<•) .r- — -Jv (7) 



i n sir) 



