191 



Hvor vidt ogsaa denne Ligning vedbliver al gjælde for r= 1, altsaa om Rækken 



Eu(x)ar~ l er konvergent, kan paa dette Stadium ikke afgjøres, senere skal dog vises, at 

 i ' 

 den iall'ald er endelig og < I, naar den afbrydes ved et hvilket som helst Led. For øvrigt 



vil en numerisk Beregning vise, at dens numeriske Værdi hurtig nærmer sig stærkt til O, 

 og at den snart er positiv, snart negativ. 



Euler har foruden de nævnte Relationer opstillet en hel Hække andre, som dog 

 ikke uden videre kunne bruges, da der ikke føres tilstrækkeligt Bevis for Konvergensen af 

 de optrædende Produkter og Summer. Blandt disse kan f. Ex. anføres følgende: 

 3 5 J7__ 11 13 tz_ 



3+7 " 5=1 '7+T' 11 + 1 ' 13—1 ' ' ' " = 4 - 

 Tællerne i de her optrædende Faktorer ere alle ulige Primtal, Nævnerne de nærmeste 

 Multipla af 4, altsaa />+l eftersom p = 4m+l. For denne Ligning er der senere givet 

 et fuldstændigt Bevis af Mertens 1 ). En anden er følgende: 



5 7 " '3 H = iL i/a (9| 



o+l '7-1 ' 11 + 1 ' 13— 1 " 17+1 ' 2 ' 



hvori der kun indgaar Primtal af Formen Gn+1. Vi anfnre disse Relationer, skjønl \i 

 senere ikke gjøre nogen Brug af dem, fordi den første giver os Anledning til en Bemærk- 

 ning. Det er klart, at alle ulige Primtal have Formen 4n + l eller hi — 1, lad os antage, 

 at alle Primtal fra en vis endelig Grænse q at regne havde kun en af disse Former, altsaa 

 f. Ex. kn-\- 1. Saa fik man, idet de foregaaende Faktorer samledes til en enkelt, A : 



TT °° r> x 1 



+v = a ■ /i S- = B . n~^r ■ 



4 lP -l 2l _i 



Men denne Ligning er umulig, eftersom B er en endelig Konstant, og det sidste Produkt 

 har Værdien æ. Vi lære heraf, at der maa være uendelig mange Primtal af Formen 

 4n+l, og paa ganske tilsvarende Maade ses, at der ogsaa maa være uendelig mange af 

 Formen An — 1 , og vi faa altsaa herved et simpelt Bevis for et specielt Tilfælde af en af 

 Di rich let bevist almindelig Sætning. 



De reciproke Potenssummer s[r) af Tallene i den naturlige Talrække spille i mange 

 Undersøgelser en stor Rolle. De, der svare til lige r, udtrykkes som bekjendt let ved de 

 B e mou lli'ske Tal-), idet 



71 



- - - „ t „ , „,,, - 9 - -- 3 -^Z? 3 ; <(B) — 943 -■ [g] 



almindelig 



B 



*' B *> s{ti) == 945 = feT 26 * 6 ' (10) 



2 2 "'-^ 2 '". (10') 



') Kin Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, lîorcharilt's Journal liil. 78. 

 ■| Se f. L\. Schlömilch: Compendium der höh. Anal. I, S. 244. 

 ViJensk. Setsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Äfd. II. 6. 25 



