192 10 



For øvrigt ville de, for saa vidt man vil have de numeriske Værdier af dem, baade for r lige 

 og r ulige, lettest og sikrest beregnes ved at udregne de enkelte Led. En saadan Tabel 

 er givet af Legend re og er nedenfor meddelt i Tab. I. 



Af Rækkeudviklinger, i hvilke disse Summer indgaa, mærkes især følgende: 



S 2 S 2 1_ S 4 2 4 1 S 8 2 6 



TT 2 " 2 ~V* 3~ n e ' ' 



'(¥)= 4 



(2 2 <^) (in 



og de dermed nær beslægtede Tangens- og Secansrækker, samt 



ira+z) = -Cc + ^ 2 c 2 -i S3 ^ + A S4 -*..., (s 2 <i), ,i2) 



hvor vi, som ofte i det følgende, for Kortheds Skyld skrive .«,• for s(r), naar r er hel. 

 Konstaaten C er den Euler'ske Konstant 0-5772 1 56 ... , som ogsaa staar i nær For- 

 bindelse med de samme Summer, idet 



Angaaende disse velbekjendte Ligninger henvises til Schlömilch's Compendium (lejlig- 

 hedsvis skal her bemærkes, at Konstanten C. d smstds. II, Side 254 er ukorrekt, den rigtige 

 Værdi er 006735 230105). 



Det vilde være af stor Betydning, hvis man kjendte en brugbar Rækkeudvikling for 

 Funktionen «(/')• Dirichlet 1 ) bar ganske vist bevist, at p.s(\-\-p) = I +(/>), hvor (p) 

 betegner en Slørrelse, som forsvinder, naar p = 0, og herved er altsaa ialfald gjort det 

 første Skridt i denne Retning, men saavidt mig bekjendt er ingen direkte gaaet videre paa 

 dette Punkt. 



Derimod haves vel et Udtryk ved et bestemt Integral 2 ), idet almindelig for r > 



hvoraf ses, at den nævnte Funktion staar i nogen Forbindelse med P- Funktionen. I sin 

 ovennævnte Afhandling, «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze», 

 anvender Riemann et betydeligt Arbejde paa at finde et Udtryk for s(r), som kan anvendes 

 til videre Behandling og bruges ogsaa for imaginære r. Ved at gaa ud fra det ovennævnte 

 Integral viser han forst, at Funktionen r[lr)7t~* r s(r\ bliver uforandret, naar r ombyttes 

 med 1—»', og for særlig at drage Fordel af denne Egenskab, fremstiller ban s{r) ved Formlen 



/<*»•) jr _ » r s(>') = 0>(x)xi l dæ, (15) 



Jo 



hvor iji(x) = 2'e n næ . Idet han dernæst sætter r = i + ti og 



') Se: Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgeg. von Dedekind. 3 Aufl. Supplement II. 

 2 ) Se f. Ex. Schlomilcli, Comp. I, S. 430. 



