11 L93 



£(«) = r(y+l)(r— l)jr ïa(r), (16 



kan £(<) udtrykkes i Form af et bestemt Integral, der kan udvikles i Række efter Potenser 

 af t". Derved ledes han til at indse Muligheden af at opløse c(t) i et Produkt al Faktorer 



af Formen 1 7 , , Gange en Konstant f(O), og derved vil det i Virkeligbeden atter blive 



muligt at udtrykke a{r) som en Kvotient af Produkter med uendelig mange Faktorer eller 

 med andre Ord at fremstille ls(r) som en Sum af Logarithmer af lineære Faktorer, og det 

 er netop dette, han specielt har H rug for. Men Udtrykket for ${t) fremtræder under Formen 



t {t) = A fi (x *f* ]) s-lco*&lx)d t r, (17) 



og at gjennemføre de antydede Kegninger med Udvikling i Række efter Potenser af t samt 

 Oplosning af den derved fremgaaende Ligning turde derfor vistnok være frugtesløst. 



Forsaavidt man ikke vil fortsætte Rækkerne for s(r) i det uendelige, men afbryde 

 dem med Leddet n~ '', saa kunne Summerne bestemmes, idet man ved Hjælp af Stirling's 



Formel finder et Udtryk for Summen ±\i-- r : 



i 



2 ar* = C L- n-+' + 4" n ~ r - 75 ""''"' + ■ • • 



i r — 1 l \ l 



Specielt mærkes for den harmoniske Række den bekjendte Ligning 



|+4 + !+...±_h+C + £- ï l ï> 0<0<1. (.8) 



Et andet Udtryk haves ved Formlen 



hvor x maa være et helt Tal. 



I Forbindelse hermed skal anføres, at 



Z.AH-l) = a-l.v-.T + ~Lv+l]/2^ + -^ v , bvor0<0<1, (20) 



en Ligning, som vi i det følgende ofte faa Anvendelse for. 



Foruden de her anførte symmetriske Funktioner af Primtal findes der hos enkelte 



Forfattere anført nogle andre Rækker, der afhænge af Primtal. Tch ebycheff l ) har 



f. Ex. bevist, at medens Rækken E — ,- er divergent, saa er derimod 2'— p endelig og 



nln pip 



mindre end 1*73 l ). 



') Mémoire sur les nombres premiers. Mém. de l'Académie de St. Pétersbourg T. VII, eller Liouville's 

 Journal Tome 17 (1852). 



25* 



