194 



12 



§ 2. Nogle specielle Rækker. Möbius's Faktorer. 



Foruden de anførte Rækker er der nogle andre, som staa i nær Forbindelse med 

 disse, og som vi i det følgende stadig faa Brug for. 



Vi saa ovenfor, at — 



77(1— p-') eller ifølge (7) 

 2x~ r .S(jL{x)ar r — 1 , 



(21) 



i i 



hvor a{x) som anført er I, naar x er et Produkt af et lige Antal forskjellige 



Primfaktorer, — I, naar dette Antal er ulige, og 0, naar æ indeholder en 



kvadratisk Faktor. Denne Ligning beror i Virkeligheden paa en særegen Egenskab hos 



Faktorerne fi[x). Udforer man nemlig Multiplikationen direkte og opskriver Regningen 



saaledes : 



Sr = | -f 2- r + 3- r + 4- r -f 5~ r + 6- r -j- . . 



_ 2-' É s r = — 2-' — 'i- — 6- r + . . 



_ 3- r «,. = — 3- r — 6- r + . . 



_ 5- r * r = — 5- r + . . 



+ 6~ r S r = + G-'' + . . 



0. S. V. 



saa ses , at alle Led af sig selv forsvinde ved Summationen undtagen det første. Dette 

 hidrører fra, at naar D betegner en vilkaarlig Divisor i Tallet .r, saa vil almindelig 



Sft{D) == 0, (22) 



naar Summen udstrækkes til alle Tallets Divisorer. Det er tilstrækkeligt at be- 

 tragte de Divisorer, som ikke indeholde nogen kvadratisk Faktor, da « for alle andre er 0. 

 Naar da x — a a ircf , . ., saa ville alle saadanne Divisorer og kun disse optræde som Led 

 i Produktet ( I — a ) ( I — é)(l — c)..., og Fortegnet for hvert enkelt Led vil netop blive den 

 Værdi af/j, som svarer til den paagjældende Divisor. Erstattes altsaa a,b,c ... alle ved 

 Tallet I, saa bliver Produktet netop Eji(D) - 0. 



Denne Sætning er angivet af M öh ins 1 ), efter hvem vi benævne Faktorerne p. som 

 «Möbius's Faktorer» lian har gjort en betydningsfuld Anvendelse af dem til Opløsning 

 af særegne Systemer "af Ligninger. Haves nemlig mellem lo Systemer af Funktioner, 



A", og y r , Relationt 



if Formen 



F, *= 2-Xr - = Z 1 + Z 2 + Z 3 + 

 Y 2 = 2X ir = A', + A', + Z 6 + 



2X«r = X 



3 -T 

 0. S. V 



Z„ 



z 9 + 



1231 



') Ueber eine besondere Art von Umkehrung der Reihen Crelle's Journal ßil. 9, S. 105. 



