196 14 



ville vise sig rigtige. Vi have forsøgt at finde Grænser for de Fejl, som begaas ved at 

 afbryde Hækkerne ved et vilkaarligt Led, men disse Grænser ere, naar undtages for den 

 forste Hække for x (26), ikke snævre nok til at have nogen Betydning. 



Et. 2. Vi have ovenfor vist i (3), at ls r = l'p~ r + h2p" 2r + \2p~ Sr + ■■■ 

 Ved at vende denne Ligning om, erholdes 



2p-r = Is,. — \ls 2r - \lstr - ^.V + fr*«Br ... = l\fl (t) «ir- ( 34 ) 



Da ls m for store m nærmer sig meget stærkt til 2 - '", saa bliver denne Række stærkt kon- 

 vergent og kan derfor bekvemt bruges til Beregning af de numeriske Værdier af reciproke 

 Potenssummer for Primtal. Paa denne Maade er Ligningen anvendt af Merrifield M- 



For r = 1 kan Ip~ r vel findes paa denne Maade , men denne Sum viser sig at 



være uendelig. Mertens har derfor forsøgt at finde en Tilnærmelsesformel for 2p~ l , 



2 



hvor G er en vilkaarlig valgt højere Grænse. Han finder i den anførte Afhandling 2 ! 



Z— = u.G + C— B+Ô, (35) 



hvor C er den Eulerske Konstant, H en anden Konstant, bestemt ved, at 



H == Us, + ±ls 3 + iZ*a - **«e • • • = f ^ /s C» > (36 > 



medens d ligger imellem Grænserne 



+ 



iie+ii T eifr' 



(37) 



Ej. 3. Af Rækken 



F(x) = f(m) + \ rV) + ±/<«*) + J/(«i) + . . . ( 38 ) 



lindes ved Omvending, at 



/(*) = FW - J F[J) - $F(J )... 1 39 ) 



Er specielt F(.v) = (k) r , saa er altsaa ogsaa 

 f(x) = [Uf - 4- • 2- r (/Æf — 4- • 3- r (^f . . • = (/■'')' ■ [ I - 2-<'+»>- 3-c+'). . .] = — (&) r . 



i O Sr+1 



Hvis derfor F(æ) kan udvikles i Række efter stigende Potenser af k, saa vil det samme 



være Tilfældet med /(.<•), og 



F(x) = ak + b(k)- + c(læ) s + . . . ( 40) 



giver 



f[x) „ ± ig + 1 (1>) i + A ( /,,p + . . . i (41) 



som vil være konvergent, hvis Rækken for F(.r) er det. 



M Proceedings of the Royal Society of London. Vol. XXXIII. 1881. 

 ') Borchardt's Journal Bd. 78. 



