15 197 



E\. i. Ved Anvendelse af Mülmis's Faktorer kider der sig ogsaa udlede adskillige 

 Resultater om endelige Hækker. Betegner man f. Ex. ved F{x) den diskontinuerte Funktion 



F(x) — 1 — 2-'' — :i- r — 5~ r -4- 6-'' . . . + (i (x) . x— ■ == 2'/^ (.«) .c-'' , ( 42 ) 



i 



X X 



og ved E — det største hele Tal i Kvotienten — , saa haves 

 ?» m 



F(x) + 2-'-F(E^) + S~ r F(E%) + ...+ x-'-F(l) = I , (43) 



X X 



eller, som den ogsaa kan skrives, 2m~ r F(£-) == 1. Er specielt r = 0, og sæltes 2u(x) = M(x), 



i i 



saa bliver altsaa 



tf (*) + Jf(4) + Jf (£)+... MU) = 1. (44) 



Ei. 5. Et noget lignende Tilfælde er følgende. Man skal bestemme Funktionen 

 f{n) saaledes, at for alle n haves (idet n er et helt Tal) 



n - /«n)+/(JS|)+/(JSi)+'.../(^) = ly(Æi). ,45! 



Ved Anvendelse af Mobius's Faktorer faas heraf ved elterhaanden at sætte E—, E—o.&.v. 

 fur n 



f(n) = n — E—- E——E—+E-... = 2>|.r|£— • 



Det er imidlertid let at se ved sukcessiv Beregning af /(I), /'(2) . . . , at f(x) = i . saa at 

 altsaa almindelig haves 



l'fi(x)E— = 1. (46) 



i x 



n ii 



Sættes heri E — = r T . hvor r x er en positiv ægte Brok, saa faas 



x x ' p p 



1 =« «2>W 2>(.r)?v = n2>(«) Æ^n) -{- Æ 2 (w) , (47) 



1*1 i æ' 



hvor /^(h) betegner Summen af de Led, fi[x)r x , som have positive Fortegn, A'.,(h| Summen 



af dem med negative. Altsaa bliver endelig 



2>«.— = ! 47' 



i æ n n n 



Da de to Bestled optræde med modsatte Fortegn, er det at vente, at de omtrent ville op- 

 hæve hinanden, saa at — vil angive den omtrentlige Værdi af Bækken. Absolute Grænser 

 for Afvigelserne faas ved at bemærke, at R^nX. 2[+(t) (o: Summen af positive ft), og 

 22 t (n)-< 2[ — ft), saa at man faar 



11" " I 11" 



2(-fi) < 2fi(x)-- < - + —£i+ fl ). (48) 



n n 2 i * n n - 2 



