198 16 



" i i 



Vi se heraf, at Hækken 2p:(x)- — — i^> nvor ^ ' ethvert Fald er en ægte lirok. 



Rækken (28) kan derfor, fortsat i det uendelige, ikke divergere, men maa enten være kon- 

 vergent eller oscillere mellem endelige Grænser. 



§ 3. Bestemmelse af 6{x) ved bestemte Integraler. Riemann's Formel. 



Naar man ved 7t(æ) betegner en Funktion, som har Værdien I, naar x 

 er et Primtal, og 0, naar x er et sammensat Tal, saa kunne Formlerne 



»» _ s 1 

 s(r) p r — I 



skrives som henholdsvis 



lp og ls[r) = — 27(1 — p~n 



!>) = i JrW _^_ (48) 



s{r) 7 V— 1 ' 



og 



ls{r) = —2' TT (.!•)/ (I— .7-'). (49) 



i 



Den sidste kan ogsaa skrives 



ls(r) = 2rc(x) \x~ r + Jæ- 2 '- + i.*- 3r + .. .) 



eller, naar man ved ä{x) betegner en Funktion, som er I, naar æ = p, l for 

 x = p-, almindelig—, naa 

 fors kj el I ige Primfaktorer, 



x = p-, almindelig—, naar x = p", men 0, naar x—\ eller sammensat af 



ls(r) = 2'<äf.r).t- r . (50) 



i 



Enhver af disse tre Ligninger (48) — (50) indeholder implicite en Definition paa de 

 deri optrædende Funktioner 7r(.r) og m[x), og da de gjælde for uendelig mange Værdier 

 af r, saa maa det være muligt at udføre Bestemmelsen af disse Funktioner af de nævnte 

 Ligninger. Paa Grund af Vanskeligheden ved at operere med saadanne Summer vil det 

 imidlertid være hensigtsmæssigt at søge at sætte Integraler i Stedet for dem. Navnlig 

 den sidste Form (50) tillader let en saadan Omdannelse, idet x~ r erstattes ved 



: 



Derved faas 



1 



2'w(.r)\j-'-> 



i t',. 



ls(r) = ÏS)(x)\z- r - i dz. (51) 



