17 199 



Men nu er 

 5(1)Ç + 5(2^ + &$)\ ... = w(i)\ + (û{\) + &(2))\ + (S(1) + S(2)4-S(3))î +... 



■ 1 ' 2 ' 3 'I "2 "3 



Betegner man altsaa Summen Æ(l| + Æ(2) + «(3) 4- . ..<3(æ) ved /(#), saa faas, idet f(x) er 

 en diskontinuert Funktion, som ikke varierer, undtagen naar x passerer en Potens af et 

 Primtal, at 



— ls(r) = 27(*)U- r - 1 ^ = 2 , \/(z)a- r - 1 d2 = \f(e)z-*-*dz. (52) 



Funktionen f(x) vil angive Antallet af Primtal op til .r -\- det halve 

 Antal Prim tal kvadrat er + .'. af Antallet af P r i m t a 1 k u b e r o. s. v. op til .r. 



Udtrykt ved 6(x), Mængden af Primtal op til x (inkl.), skal /(«) altsaa være 

 lig med 



n i.r) ---= 6 (.r) -\-\e (x\ ) + \e (xh + ... ( 53 > 



Vi bruge i det følgende for delte Tal Benævnelsen: «Antallet af dividerede Primtal- 

 potenser», idel hver enkelt Potens af et Primtal i dette Antal kun skal 

 tælles som 1 divideret med Exponenten. Det erindres, at Tallet 1 ikke er 

 medregnet i 6{x) og altsaa heller ikke i i'l(.r). Forsaavidt nu /(.r) bestemmes af den 

 ovenstaaende Formel under entydig Form, saa vil i Diskontinuitetspunkterne /(.?•) ikke kunne 

 falde sammen med &{x), men maa i disse Punkter angive en Middelværdi mellem &[x-\-0) 

 og t/(.r — 0). Derimod er der ikke noget til Hinder for fuldstændig Overensstemmelse i 

 alle andre Punkter. 



For af Formlen (52) at bestemme f[æ) anvender Riemann 1 ) følgende Sætning, 

 som bevises ved Hjælp af Fourier'ske Integraler: Naar, idet s — a-\-bi, hvor a>l, 



g (s) = \h{.r).v- r dlx, 

 Jo 

 saa er ogsaa 



SO + OOÏ 

 g {s) i/d s, 

 .a — oo » 



og ved Anvendelse af denne fremkommer derefter Udtrykket for /(.?•) under Formen 



/(■*') = J-\ — ls(r)x r dr i (54) 



r 



og der staar derefter kun tilbage at omdanne dette Integral til en mere handelig Form. 



Skjønt Niemann's Udledning af denne Formel baade er elegant og ikke egentlig 



') lieber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze Monatsber. der Beil. Akad. 1869, 

 eller Kiemann's Gesammelte mathematische Werke S. 136. 



Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række. naturviJensk. og matliem. Afd. II. 6. ;>(> 



