200 



18 



vanskelig, tro vi dog, at det vil være ret oplysende at vise, hvorledes den samme Formel 

 mere direkte lader sig udlede ad en anden Vej, hvorved det tydeligere ses, at Integralet 

 virkelig fremstiller den søgte Funktion. 



Som bekjendt er ') 



zsinbz 4- kcosbz 

 1 k? + z°~ 



di 



7T«- M for £>0, 

 for b < 0. 



(55) 



k er her en vilkaarlig positiv Konstant. Sættes b — l—, saa er altsaa 



° r p" ' 





zsinz l 



pH 



k coszl - 



P n j~ 



k 2 +z* 



dz == 



for Ix > lp" , 



-=- for l.v 

 for Ix 



lp" 

 lp" 



(56) 





og fremstiller allsaa en diskontinuert Funktion, der er lig 0, saalænge til ,v, varierende fra 

 I til cc , passerer p", og derefter er lig I. Indfores Exponentialfunktioner l'or de trigo- 

 nometriske, saa kan Integralet ændres til 



,„ + *£&&**• 



Divideres dette med n, fa as en Funktion, som er 0, indtil x passerer p" , 



og derefter er lig — ; for .r = p" er den lig =-• Indsættes nu for p efter- 

 n In 



haauden alle Primtal, for Exponenten n alle hele Tal fra 1 og opad og summeres, faas 

 altsaa et Udtryk for Antallet af dividerede Primtalpotenser op til x. Kun hvis x er 

 en Potens af et Primtal, faas ikke selve #(a), men — (#(æ — 0) + #(.? + <))). Men ved 



Additionen faas under Integraltegnet — ., multipliceret med en Række af Formen 



A-J- zx 



2jp-(*+' i ) -f — Sp-m**) 4- J-j^-s (*+«■) + . . . 



Z à 



Men denne Række er for k > 1 konvergent, og dens Sum lig l.s(k-\-zi), og altsaa faas, at 

 Integralet 



00 



vil fremstille Funktionen &{x), undtagen i selve Diskontinuitelspunkterne, for saa vidt k er 



') Se f. Ex. Riemann: Partielle Diflferentialsleichungen, herausgeg. von Hattendorff, S. 33, eller 

 G. F. Meyer: Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale S. 197. 



