19 



201 



en positiv Konstant, der er > I. Men dette Integral er netop identisk med Riemann's, 

 hvilket strax ses ved at sætte r = k -f zi. 



Integralet (56'), hvorfra vi gik ud, er et specielt Tilfælde af en anden lidt alminde- 

 ligere Form, som vi nu ville udvikle, da Riemann gjer en udstrakt Brug af den ved 

 Transformationen af Integralet for /'(.»). Erstatter man nemlig k -\- zi ved Differensen 

 (a — b) -f- [z — y) i , hvor a, b, z , ij ere reelle og a>b, saa faas M 



*«*■* = [ *: ,iz^[-- /'^" _.*, 



,U + « ya—b) + \z-y)i ' 



eller, naar man sælter a -\- zi 



\ 





dz = 2,tæ-* . **\ 



Multipliceres paa begge Sider med .<", faas altsaa almindelig, idet x antages > I 



,,+ 00 ^0.4-0, 



\J?-dz = X\— a dr= 2w' 3 , 



hvor r og ß ere komplexe Tal, og den reelle Del af r er større end den reelle 

 Del af ß. I denne Form (med Ombytning af r med «) benyttes Ligningen af Riemann, 

 der dog ved en eller anden Uagtsomhed har faaet et urigtigt Fortegn paa den ene Side af 

 Ligningen. Ved Differentiation med Hensyn til ß fremgaar atter heraf følgende Integral 



eller for ß = O 



,,+ » 



1 jj.r 



\ --.dz = 2^-^. 



7?) 



dr = InaPlæ , 



159) 



(60) 



Man ser let, hvorledes man ved Benyttelsen af de her angivne Inlegralformer kan sammen- 

 sætte Integraler, som give symmetriske Funktioner af Primtallene op til x, idet man for 

 x sætter — og summerer for alle Primtal. Men alle disse Integraler faa væsentlig lignende 

 Form som det Riemannske Integral for f[x) og frembyde altsaa de samme Vanskeligheder 



som delte. Flere af disse Relationer ere imidlertid ikke uden Interesse, 

 dem følgende: 



Vi anføre blandt 



$£'**- Stø)+*#)+») 



dz 



p + 2'V + 3 p 3 " 



, (61 



hvor alle Nævnerne paa højre Side skulle være < x, den reelle Del af r>l; 



') Jvfr. Meyer: Bestimmte Integrale, S. 196 



26* 



