21 203 



hvor (p(.x) = 2'e n ** , og hvor $[t) fremstiller en Funktion, der altid or endelig og kan 



i 

 udvikles i en konvergent Række, efter Potenser af t-. ç\t) vil derfor kunne fremstilles 



under Formen . „ 



m = c[0).ßh-—\ (68) 



hvor ç(0) er en Konstant, og Størrelserne a betegne Rødderne i ç{t) = 0. Den 

 imaginære Del af Rødderne a er stedse beliggende mellem Grænserne -\^-^i, men er 

 sandsynligvis lig 0, saa at alle disse Rødder ere reelle. Fremstillingen af denne Formel 

 er et Ilovedpunkt i Riemann's Afhandling, men skjont de af selve R. saavelsom af Genoechi 

 givne Udviklinger ere fuldstændig tilstrækkelige til at paavise Formlens formelle Gyldighed 

 ialfald for r > 1 , forekommer der mig dog at hvile nogen Uklarhed over dennes egentlige 

 Reskaffenhed. Dette har naturligvis sin væsentlige Grund deri, at selve Rødderne « ere 

 ubekjendte. At finde disse Rødder ved Udvikling af ?(<) i Række efter Potenser af t og 

 Opløsning af den derved fremkommende Ligning c[t)=0 synes at være et haabløst Arbejde, 

 og der vilde altsaa ikke være andet at gjøre end at forsøge paa at finde disse Rodder ad 

 indirekte Vej. Det er ret rimeligt, at de maa paa en simpel Maade afhænge af Tallene i 

 den naturlige Talrække eller maaske endog af Primtallene, men det er ikke lykkedes mig 

 at vinde Klarhed over dette vigtige Punkt. 



Det synes ogsaa at være noget kunstigt at indføre den nye variable t. Det er 

 naturligvis sket for at fremhæve, at ç(t) er en lige Funktion af t, altsaa af r — — , men det 

 mærkeligste er, at ved den videre Udvikling maa man igjen indføre selve r. Man faar 

 nemlig ganske vist først 



ls(r) =l-l n -H 



■ i ) - ir(j + 1) + 2 a i (i + — ■—-) + 1 m , 



hvor alle de enkelte Led undtagen det første og det sidste kunne udtrykkes ved Elementer 

 af Formen l(a-\-br), og netop denne Form er for Beregningen af Integralet særlig bekvem, 



la- 



mm betragter man et enkelt Led i Summen l' a , saa faas 



'('+ «* ) = l { a2 + { r --wJ)- lai = '( T -''+«') + l {-j- r - ai ) 



Summen 2' a kan derfor skrives som 

 Men nu er 



*(i t ^- w _*(, + ^)._,^_, f (i*)_« M , 



