210 28 



Ogsaa heraf synes det rimeligt, at disse Leds Sum maa være beliggende indenfor Grænser, 

 som væsentlig ere proportionale med yx. 



Vi se saaledes, at Riemann's Fremgangsmaade virkelig er i Stand til at lede til et 

 exakt Udtryk for Primtalmængden og tilmed, hvad man a priori aldeles ikke var berettiget 

 til at vente, i en saadan Form, at i et enkelt Led Integral logarithmen træder frem 

 som en kontinuerlig Tilnærmelses for mel, hvis Afvigelser fra den søgte Funktion 

 &(x) tydelig fremtræde under en saadan periodisk Form, at de, hvis en nøjere Beregning 

 af dem var mulig ved Hjælp af selve Formlen, vilde vise sig snart at være positive, snart 

 negative. Men en Beregning af de periodiske Led ved Hjælp af Formleu lader sig naturligvis 

 ikke iværksætte, saa længe Størrelserne « ere ubekjendte, og selv om de kjendtes, vilde de 

 periodiske Led fremtræde i Form af en Række , der skulde fremstille en meget variabel 

 diskontinuert Funktion. Rækken maatte i hvert Fald blive uendelig og uden Tvivl saa 

 lidet konvergent, at den ikke kunde bruges til nogen numerisk Beregning. Derimod 

 kunde det tænkes muligt at omdanne Rækken til andre Funktionsformer, som tilstedte en 

 saadan eller ialfald en Bestemmelse af Grænser, indenfor hvilke Værdien af de periodiske 

 Led maatte være beliggende. 



Det er med Hensyn til Bedømmelsen af Muligheden af saadanne Transformationer 

 af stor Interesse, at man er i Stand til at fremstille f(x) under en anden med den forrige 

 noget beslægtet Form, som ganske vist paa en vis Maade ikke giver noget reelt Udbytte, 

 men som dog giver et Indblik i forskjellige Forhold, som Riemann's Formel ikke giver 

 nogen Oplysning om, saa længe Størrelserne a ere ubekjendte. 



Det vil erindres, at det ved Bestemmelsen af det Riemann'ske Integral særlig kom 

 an paa at fremstille s{r) i Form af et Produkt af Faktorer. — For at kunne udføre Integra- 

 tionen Led for Led vil det imidlertid ogsaa være fuldstændig nok, hvis —— : = II[\—p~ T \ kan 

 fremstilles paa denne Maade, og naar man kun vil have &(x) for en vilkaarlig valgt endelig 

 Grænse x, saa vil det være fuldt tilstrækkeligt, hvis Produktet af Faktorerne I — p~ r , taget 

 for alle Primtal op til en vilkaarlig valgt Grænse ;->■<', kan udtrykkes som et Produkt af 

 lineære Faktorer (a/'+A). Thi naar Summen a\r) = I ' r + 2~ r + 3" r . . . -f n~ r -\- ..., hvor 

 n betegner alle de Tal, som kun indeholde Primfaktorer <;-, indsættes i det Riemann'ske 

 Integral, saa faas alligevel som Resultat >-(#(«+()) -|- &(x — 0|) saalænge æ < y. 



Det er i Virkeligheden ikke vanskeligt at fremstille - - under Form af et Produkt. 

 Som bekjendt er nemlig Produktudviklingen for sine ogsaa gjældende for komplexe -, altsaa er 



e z — e~' = 1z . II m ( I + -'.— ) ( m = 1 . 2, 3 . . . oo ). 



V ni-n-! 



Sætter man heri z = \rlp , faas efter Division med e* 



'-/'-" -^-'-^O +(*£)')' ,8o) 



