214 32 



undtages den aller første Del af Talrækken, er ringe, saa medfører dette kun, at man faar 



0(x) = P[x)+ I. (87') 



Hvilken af disse to Formler som rettest bor benyttes, ses ved Sammenligning med 

 de sande Værdier af #(.)•); og den vedføjede Tabel VI viser tydelig, at naar undtages x < 3, 

 saa giver den sidste Formel øjensynlig den bedste Overensstemmelse, og vi adoptere derfor 

 denne (87') som den endelige Form for en Tilnærme Ises for ni el for 6(x). 



I Virkeligheden er P(x)-\-\ allsaa kun en anden Form af den kontinuerlige Del af 

 Uiemann's Formel, specielt af det Led, som fremstilles ved Li(x) — \Li(x*) — AZi(æ*) . . ., 

 men den besidder fremfor denne den Fordel at have Formen af en konvergent Række, som 

 i hvert enkelt Tilfælde direkte lader sig beregne Led for Led. Tilmed er Rækkens Form 

 ikke uden Interesse, navnlig fordi den i Koefficienterne indeholder Funktioner af Primtallene. 

 Det ligger ret nær at formode, at det kunde være muligt for at faa et exakt Udtryk for 6(d) 

 at erstatte de i Nævnerne optrædende Funktioner s(r) ved andre med disse analoge, men 

 afhængige alene af Primtallene op til .r og altsaa diskontinuerte. 



Da det maatte være af særlig Betydning at gjore Beregningen af Funktionen P(x) 

 saa let og bekvem som mulig, besluttede jeg, efter at have fundet dens Fremstilling ved 

 Rækken (86), at forsøge Beregningen af en Tavle over saamange Værdier af den, at en 

 Sammenligning mellem 6(x) og P(,r) indenfor de Grænser, for hvilke 6(x) var bestemt ved 

 Primtaloptællinger, kunde beregnes ved simpel Interpolation, saaledes at man i det mindste 

 erholdt en rigtig Decimal. Til dette Øjemed beregnedes da først den i Tab. Il meddelte 

 Tavle over lutegrallogarithmen og ved Hjælp af denne Værdier af Funktionen P(x) paa den 

 Maade, som nedenfor er angivet i Forklaringen til denne Tavle. Da det imidlertid derved \isle 

 sig, at Interpolationen, forsaavidt l.x toges til Argument, var langt simplere for Funktionen 

 log. P(.i) end for selve Pi.v), saa er i Tavle III log. P(x) taget som det principale, medens 

 de anførte Værdier af selve P(x) kun ere tilføjede af Hensyn til Kontrollen og Bedømmelsen 

 af den Maade, hvorpaa Tavlen er beregnet. — Det bør endnu tilføjes, at de Tilnærmelses- 

 værdier for #(.?■), som beregnes ved denne Tavle, forsaavidt jeg har undersøgt Sagen, stemme 

 saa godt overens med de af Glaisher 1 ) angivne, som det kunde ventes. — Selv om der 

 altsaa kan rejses Tvivl om den formelle Rigtighed af Udledelsen af de Sætninger af 

 Mobius, paa hvilke Beviset for Formlen 6(.x) = P(x) -\- \ beror, saa vil der dog sikkert 

 ikke kunne være Tvivl om den reelle Gyldighed af disse Formler. 



Det vil af det foregaaende være klart, at der med Hensyn til den korrekte 

 numeriske Beregning af Prim talmængden op til en vis Grænse ikke er 

 vundet noget ved Riemann's Formel. Men ikke desto mindre have hans Lnder- 



') James Glaisher, factor Table lor the sixth Million. London ISS3. 



