33 215 



søgelser bragt et væsentligt Fremskridt i vort Kjendskab til Loven for Primtallenes Fordeling, 

 idet han er naaet lil at angive F or ni en af den Funktion, som skal bruges til at udtrykke 

 Loven for Mængden af dividerede Primtalpotenser op til Grænsen x. Da Differential- 

 kvotienten af det dominerende Led Li{x) i Riemann's Formel for &[x) er =-, saa lærer 

 denne Formel os endvidere, at det ikke, som Gauss antog, er Tætheden af selve 

 Primtallene, som gjennemsnitlig er omvendt proportional med Ix , men at 

 dette derimod er Tilfældet med, hvad man med en analog Betegnelse kunde 

 kalde Tætheden af dividerede Primtalpotenser. 



Men trods dette synes dog det Held , Kiemann har haft med sine Undersøgelser i 

 denne Retning, at være af en noget tilfældig Natur. Det beror udelukkende paa den særlig 

 hensigtsmæssige Form, det er lykkedes ham at give Funktionen ls(r), og da atter paa, at 

 Leddet l[r — 1) udsondrer sig fra alle de andre og bliver af dominerende Betydning. At 

 dette maatle blive Tilfældet, er ikke ganske klart, selv om den Side 10 anførte Formel af 

 Dirichlet, *(!+/>) = — \- — , som Mertens og tildels ogsaa Tchebycheff have benyttet ved 

 deres Undersøgelser, nok kunde tyde paa noget saadant. Men selv om det ogsaa vil lykkes 

 ved fortsatte Studier at komme til fuld Klarhed over denne Udvikling og over de i Riemann's 

 Formel indgaaende Rødder «, saa synes det dog, som om den Form, hvorunder disse 

 indgaa i den endelige Formel, i høj Grad maatte vanskeliggjore igjennem denne nogensinde 

 at naa til en nøjagtig Beregning af Mængden af Primtal op til en given Grænse, og stiller 

 man sig altsaa dette Formaal, saa vil man derfor vistnok endnu i lang Tid være henvist til 

 Beregninger af rent taltheoretisk Natur. 



§ 4. Ufuldstændige Kvotienter. Theoremer af Berger og César o. 



I det følgende betegner n gjennemgaaende et konstant helt Tal; det største hele 



Tal i Kvotienten — betegnes efter Legendre ved Symbolet E— eller E ( — I , saa at 



altsaa 



E IL <JL <E ^-+l eller A_, < £-!L < ±. (88) 



X _ X X ' x x - X 



• Om saadanne ufuldstændige Kvotienter lader der sig angive forskjellige mærkelige Sætninger. 



Betragte vi Talrækken 



n n _ n „ n 



E T , Ej, L- ... JL — , 



hvor 1, 2, 3 ... a ere de hele Tal op til a inklusive, saa danne de enkelte Led en Række 



Vidensk. Selsk. Skr., ti. Række, naturvidensk. og mathera. Afd. II. 6. 28 



