218 36 



Ligeledes haves specielt for a = « 



Ved at specialisere Formen af de indgaaende Funktioner samt Rækken af Tallene z 

 lader der sig af disse Ligninger udlede en Mængde forskjellige Relationer, som ofte ere af 

 en meget overraskende Form. Skjønt det for det Problem, vi behandle, ikke er ganske 

 nødvendigt al fremhæve mere end en enkelt af dem, tro vi dog, at en lidt fyldigere Udvik- 

 ling vil være paa sin Plads, og vi give derfor nedenfor en Række Exempler paa deres 

 Anvendelse paa Primtallene. Raade Rerger og Césaro have gjort en udstrakt Rrug af 

 deres Sætninger til Bestemmelse af Funktioner af Tallenes Divisorer, den første Regyndelse 

 til disse Undersøgelser er allerede gjort af Dirichlet ')• 



Retragter man nemlig Differensen 



X X 



saa ses, at dens Værdi vil være lig Nul, undtagen naar x er en Divisor i n, 



da den er lig 1. Retegner altsaa cl en Divisor i n, saa vil, naar f{x) er en vilkaarlig 



Funktion, haves 



2* f{d) = J (e^-E^) f(x) , (101) 



x=i \ x x I 



som ved Hjælp af Rerger's Theorem i mange Tilfælde tilsteder en tilnærmet Restemmelse 



af den symmetriske Funktion 2/[d), hvor Summen udstrækkes til alle Divisorer i Tallene 



op til n inklusive. 



Hvis man f. Ex. vil have Antallet af alle disse Divisorer, saa sættes f(d) = d° = i, 



og det søgle Antal faas da ved efterhaanden at sætte n= 1,2,3...« og summere; det vil 



være 



-,« — I \ ''=" „ n „»,„», „n 



f j ) = 2/ J^j — 



. = il=l\ * -V I .,=1 X 



For dette Antal vil det være let at angive en Tilnærmelsesformel. Ved Hjælp af (96| faas 

 nemlig, idet f(x) =- I , F{x) = x, q = E]/n , 



2 E— = 2-2E— — ./- = 2n2— — q l — 2dq , (103) 



i x i x , as , 



hvor o er en ægte Rrøk. 



Men nu er, idet e er en ægte Rrøk, 



« I I 



N. 2 2(E- -S— -\ - : 2 E— ■■ = Æ-f + E-^- + E—+...E— . (102) 



Z o il 



7 •-• * ' '2} I 2 f 



') lieber die Bestimmung der miltieren Werthe in der Zahlentheorie, Abhandlungen der Berliner 

 Akademie 1849; og lieber ein die Division bclrclTendes Problem, Honatsber. der Heil. Akad. Januar 

 1S51; eller C rolle's Journal Bd. 47. 



