41 223 



En højere Grænse for denn« Sum faas saaledes 



E± + e± + eJL + ... < Jl + _i + ..._L\ = _J! 



p -r p *-r pB -r - \ p t pl t ,,,./ ^_^ p , 





>-; 



= n 1 ?i — I 



P[ l -j) P{P~j) P ' 



For af Formlerne (III) til (I IG) at finde explicite Udtryk for de paa venstre Side 

 indgaaende Funktioner 6(x) o. s. v. , maa Ligningerne vendes om ved Hjælp af Möbius's 

 Faktorer. 



For 6[æ) har Bougaieff angivet Formlen 



0(x) = ZE~-2£E~ + ZZE~...-2E-„ + 2E~-2E^ r + ..., (119) 

 a ab abc a- a'-b a-bc 



som er af en temmelig kompliceret Natur. Men hvad han ikke synes at have bemærket 

 er, at den første Del af Formlen netop angiver pin), Antallet af Primtalpotenser, idet altsaa 



f(«) = ZE— — 22E^ j: + 32E-?! r — 4i:E— + ... (120) 



* a ab abc n ' 



Dette kan uden stor Vanskelighed indses ved Induktion, men vi foretrække at bevise det 

 paa en anden Maade, som ogsaa i andre Henseender har Interesse. 



Naar abc... betegne de m ferste Primtal, da vil Antallet af Led i Udviklingen af 

 Produktet (I-f a) (I + 6) (1 + c) ... være 2'", og skriver man Produktet som 



1 + Sa + lab -f labe + ..., (121) 



saa vil Antallet af Leddene i de enkelte Summer angives ved Leddene i Rækken 



1 + »>i + »»2 + m 3 + • • • = 



£)/» 



hvor m, , m.,, ?«.,... betegne Binomialkoefficienter. Betragter man et Tal jY, som alene 

 er sammensat af Potenser af disse m Primfaktorer, saa vil dette af Divisorer fors kj el lige 

 fra I, som kun indeholde 1ste Potens af hvert enkelt Primtal, netop have de enkelte Led 

 i (121), det første 1 fraregnet. Betegner man nu Antallet af Divisorer i A' af Formen a 

 ved D a , af Formen ab ved D ah , og bemærkes, at 



1 — m, + in., — m a + . . . = (1 — 1)"' = , 

 saa er ogsaa for ethvert sammensat Tal 



l_ E a + Eau— D a u... — 0. (122) 



Paa lignende Maade faas af Identiteten 



?», — 2m 2 -|- 3m 3 — 4m 4 ... = m( 



at D a — 1D ub + $D aU — Wat* 



Ligeledes er 



I .2m s — 2.3m 3 + â.4«i 4 



altsaa ogsaa I . 2E ai — 2 . il'U + 3 . \D,„,cj . . . == , o. s. v. 



Videnskab. Selsk. Skr., 6. Række, naturviJensk. og matt. Aid. II. 6. 2t) 



