224 42 



Disse Formler gjælde for ethvert sammensat Tal. Hvis i den første N er 

 et Primtal, saa faas paa højre Side ogsaa Nul. Adderer man alle de tilsvarende 

 Ligninger for Tallene fra 2 til n, saa faar man altsaa Summen 0. Men Antallet af samtlige 



Divisorer af Formen a i Tallene fra I til n er 2'A' — , af Formen ab, 2/i'— =■ o. s.v. altsaa 



a ab 



faas den velbekjendte Ligning (46) 



» _ 1 _ 2E— + 2E~ . . . = 0. 

 a ab 



Behandles den anden Ligning paa samme Maade, saa ses, at man, hvis N er en Primtal- 

 polens, vil faa 1 i Stedet for paa højre Side af (123), saa at Summation med Hensyn 

 til alle hele Tal giver Antallet af Primtalpotenser 



p(n) = ZE— — 2IE^- + Z1'E^- ... (125) 



a ab abc 



Leddet SE — kan elimineres ved Hjælp af (46), hvorved faas 



p { n)+i = n-ZE^ + 22E n r -Z2E-— ... (126) 



ab abc abca 



Den tredie Formel (124) vilde, behandlet paa samme iMaade, give Formlen 



2Ï>„(») = \.12E n T — ?.32E~ + ?,A1'E^- 1 ..., (127) 



ab abc abcd 



hvor pJn) betegner Antallet af Tal, som ere et Produkt af 2 Primtalpotenser. 



De saaledes vundne Formler (125) — (127) ere fra det theoretiske Standpunkt ret 

 mærkelige, og de ere ogsaa af Betydning ved den rent numeriske Beregning af Primtal- 

 mængdeu. Men til Afledning af Tilnærmelsesformler egne de sig ikke, det maatte i saa 

 Fald være nødvendigt at præparere dem saaledes, at vi undgik de skiftende Fortegn. Eller 

 ogsaa maatte man forst benytte en saadan Funktion af Primtal, at man i en med (125) 

 analog Formel paa højre Side erholdt en bekjendt Funktion eller i det mindste en Funktion, 

 som med Tilnærmelse, hvis Grænser kunde angives, lod sig udtrykke ved bekjendte Funk- 

 tioner. Det er i Virkeligheden dette, som Tchebycheff har gjort i sin berømte Afhand- 

 ling: «Mémoire sur les nombres premiers» (1850), som tillige med det to Aar ældre Arbejde: 

 "Note sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée», findes i Lion- 

 ville's Journal 17 Bd. 



Tchebycheff har andetsteds vist, hvorledes man i Almindelighed kan omskrive en 



00 II 



Funktion af Formen 2f{x)lx til Formen l'A p lp. ') 



1 ' 2 



n 



Det er lige saa simpelt at betragte Funktionen 2f(x)Jx. Det er da klart, at lp vil 



i ' 

 forekomme som Faktor i alle de Led f(x)lx, hvor x er delelig med p, og tilmed multipli- 



') Jvfr. Catalan: Nom. Coiresp Malh. 1. IV, p. 30S. 



