45 227 



Det andet Udtryk for T(n) i (133) giver paa lignende Maade, idet 



7» = i fø (*) - jj (*- 1 )) £ - = 2' £ - «S (c) tø , (135) 



1 X J X 



(136) 



Formlen /« = z(E— — E n — -\co(x)læ = Zà>(d)ld, 



hvor rf betegner alle Divisorer i n, og Snmmationeu udfores med Hensyn til disse. 



Disse Udtryk for In ere saa at sige umiddelbart indlysende, og man kunde derfor 

 ogsaa benytte dem som Udgangspunkt til Bevis for de Tchebycheff'ske Ligninger (130) og (131). 



Hvad der imidlertid bør særlig fremhæves paa delte Sted er, at disse Ligninger 

 ret beset indeholde Definitioner af Funktionen <t> (,!'), idet denne skal være en 

 saadan Funktion, at den symmetriske Funktion Sco[d)ld, dannet af alle Divisorer i Tallet n, 

 faar Værdien In. Kan derefter St(ai) bestemmes nøjagtig eller tilnærmelsesvis, saa vil 



il 



altsaa 2<w(#) give et Udtryk, ikke for selve Primtalmængden 0{n), men for 



i 

 Funktionen #(«), den samme Funktion, for hvilken Riemann ad ganske anden Vej findel- 

 en Formel. Der er derved knyttet et interessant Baand imellem disse to saa forskelligartede 

 Undersøgelser, og netop Tilstedeværelsen af denne Forbindelse giver en Antydning af, at 

 det virkelig er Funktionen #(n), som man navnlig bør fæste Opmærksomheden paa, fordi 

 den tilsteder en simplere analytisk Bestemmelse end selve 6 (ri). 



Inden vi forlade dette Thema, skulle vi endnu anføre nogle mærkelig udseende 

 Identiteter, der faas som simple Følger af Berger's og Césaro's Sætninger i den udvidede 

 Form. 



Ifølge (113) er, naar #,(.!■) betegner Antallet af Tal af Formen ab, d. e. Produkter 

 af to Primtal 



og paa lignende Maade kan findes Ligninger for 0- 6 (x), Antallet af Tallene abc, op til x 

 o. s. v. Men hvad vi navnlig her ville fremhæve, er, at # 2 (h) kan udtrykkes ved 0(n). 

 Dannes nemlig Summen 



•(t)+»(t)+«(;-)+«(t)+-- «(t)- 



saa vil denne let ses at angive Antallet af Tal af Formen ab, tagne 2 Gange, -f- Antallet af 

 Primtalkvadrater op til «, eller 



Sei— \ = 20 2 (w) + 0(« i ), (137) 



en Relation, som i ufuldstændig Form er fundet af Bougaieff. Lignende, men mere 

 sammensatte Formler kunne findes for 6-Ax) o. s. v. 



