49 231 



Da (lctln gjælder for alle Værdier af n, vil man være berettigel til at anse t(x) som repræ- 

 senterende en Tilnærmelse til de Værdier, som vilde faas ved at udjevne Værdierne af r(n) 

 ved en Formel, som ikke tilsteder Vendepunkter, saa al altsaa denne Funktion tilnærmelsesvis 

 maa anses for at være konstant lig 1. 



Til det samme Resultat leder det tredie Udtryk i (145) 



In = 2z(d). 

 Naar man ogsaa lier erstatter t{x) ved t(x), hvor t[x) har en lignende Betydning som ovenfor, 

 saa skal t{d) være en saadan Funktion, at den symmetriske Funktion 2t(d) faar Middel- 

 værdien In for Tallene i Nærheden af n. 



Nu har Berger ved Hjælp af (101) bevist, at naar g bestemmes saaledes, at for 



n = no lim— = 0, men lim — = O , saa vil Middelværdien af Antallet af Divisorer i 



n g 



Tallene mellem n — g og n -\- g nærme sig til Grænsen ln + 2C (jvfr. S. 37). Udelades 

 Divisoren 1, som forekommer i alle Tallene, bliver Middelværdien ln-\-1C — I, og denne 

 Værdi vilde altsaa blive Middelværdien af 2t(d), for saa vidt t{x) = I. Denne Middelværdi 

 er lidt større, end den skulde være, men da det tillige er bevist, at Middelværdien af 



I 2 2 



Æ—r er — , eller, naar Divisoren 1 udelades, — I, saa kunne vi sætte 



ab b 



*(„) = ,_^i.l = 1 _A; (h?) 



t- 1 



n n 



Ogsaa dette Udtryk nærmer sig for voxende n til Grænsen 1. 



" \ n "I " 1 " 1 h 



Da 2 — E — < «2'- og > »i2'-j — 2 — , saa faas, ved at indsætte 1 i Formlen 



i x x i x l i x 2 i x æ 



(135) i Stedet for t{x), at 



T(n)—2E — [\ r = P Vn-\- Led af lavere Orden, 



i & \ x ) 



saa at Afvigelsen mellem T(n) ogl'E — t(x) her kun bliver af Ordenen ]/n. 



Alle de her anvendte Fremgangsmaader fore altsaa til det Resultat, at t(n) for 

 store n nærmer sig til Grænsen 1, og al altsaa Middeltætheden af dividerede 

 Primtalpotenser (eller af w(n) = ë{n) — &{n—l)) nærmer sig til Grænsen j- , naar 

 n voxer. Dog kunne disse Udviklinger ikke anses for fyldestgjorende Beviser for denne 

 Sætning, bl. a. af den Grund, at Overgangen fra r[n) til t(n) ikke er tilstrækkelig skarpt 

 bestemt. 



Denne Indvending kan ikke gjøres mod den følgende Fremgangsmaade, hvor vi 

 direkte benytte Formlen (135) 



7» = 2E— z{x) = 2E—t(x). 



1 X 2 ■* 



Vnlpnsk. Selsk. Skr.. (Ï. Række, naturvidensk. op mathem. Afd. II. 6. 30 



