236 54 



hvilket som helst Punkt angive en Grænse for den derved begaaede Fejl, og navnlig har man 



de to Uligheder 



a < A*! , og a > X 1 — X 6 , 



da de bortkastede Led i første Tilfælde have en negativ, i sidste en positiv Sum. 



Anvendt paa det foreliggende Tilfælde faas, idet ved t(n) betegnes 



7» - t(b\) - t(e±) - t(b±) + t(e±) , 06.) 



at t(n) < </>{n) < m + </> (y) • ('62) 



Ved derefter først at vise, at 



T(E) = l]/Yn + ælæ — te -J- ~ hlx + -^ , hvor k < 1 , (163) 



Under Tchebycheff først Grænser for t[n) , nemlig 



5 5 



An-\--ä-ln > t(n) > An ^-ln—\, (164) 



hvor A = JLz2 + 4-Z3 + JL* 5 — -Lj30 = 0-92129202..., (165) 



Zoh 0\J 



og derefter for ip[n) 



— An + ^-[lnf+^ln+ 1 > </>(n) > An — ~ln—\. (166) 



Væsentlig den samme Methode er anvendt af Sylvester 1 ) og ligeledes af Dr. 

 Jul. Petersen -). 



Sylvester giver en ringe Forbedring af TchebychefTs Grænser, men noget væsentligt 

 har hverken han eller nogen anden af de senere Forfattere opnaaet, navnlig har ingen af 

 dem været i Stand til at faa Faktoren til n i Grænserne for t/>(n) erstattet ved 1 , hvilket 

 uden Tvivl maa kunne gjøres. I Virkeligheden synes det, som om TchebychefTs Frem- 

 gangsmaade ikke kan udvikles videre; at den har kunnet føre saa vidt, beror paa, at man 

 ved Dannelsen af Summen a kan faa en Række af Ä* med skiftende Fortegn, og at danne 

 en lignende Række, hvor flere af de første efter A", følgende A r mangle, synes ikke at 

 være muligt ved at kombinere forskjellige Y. 



Vi vende os derfor til de andre Maader, som kunne tjene til Bestemmelsen af ^(w). 

 Betragtes først Formlen (132) 



f»(n) = 2lpE-^ , 

 saa giver denne ganske vist Grænser for jfr(n), nemlig 



') On TchebychelTs theorem of the totality of the prime numbers comprised within given limits. 



American .tournai of mathematics. Vol. IV. 

 2 ) Om Primtal. Tidsskrift for Mathematik 1882. S. 138. 



