63 



245 



I Forbindelse hermed \il det være af Interesse al paavise, al ogsaa den af Tche- 

 bycheff i hans første Afhandling 1 ) anvendte Methode, som netop hviler paa Betragtning 

 af Funktionen s(r), direkte fører til en med det foregaaende overensstemmende Bestem- 

 melse af Lim <j>(n). 



Ved at gaa ud fra Formlen (14) viser Tchcbycheff nemlig først, at Funktionen 



1 . . . 1 



r- 



Sar* 



= «(»•)— 1 



-1 r- 



saa vel som alle dens Differentialkoeflicienter, vil være endelig for r=l, og derefter paa 

 Basis heraf, at det samme vil være Tilfældet med Differentialkoefficienterne af 



l{r— 1) — 27.(1 — jr 1 }. 

 Saa vil altsaa ogsaa 



D? 



— + JJ r (l(r-]\-2'l(\-p- 



som med de i det foregaaende anvendte Betegnelser kan skrives som 



m 



2'æ — '' + D r 2w(x)x~ r 



/C 2(1 — r{x))x-- = (— if2{\ — z(x))ar^(h) 



hvor m er et positivt helt Tal eller 0, vedblive at være endelig for r= I. Betegner nu M 

 den største numeriske Værdi, som denne Sum, naar r=l, kan antage for nogen Værdi 

 af m, saa vil følgelig ogsaa 



v 1 — *(*) 



-z(x) I Ix (Ix) 



r"l 1+ 'TT; 



{Ix) 



+ 



[2] ' [3] 

 være en endelig Størrelse. 



Men denne Sum er del samme som 



- J/ ( , +i+m- 



[2] ' [3] 



= Me 



Z(1—t(z)) = Lim„ =K (n — 1— (p(n)). 



Der vilde herved være ført et Bevis for, at den asymptotiske Værdi af tp(n) 

 havde Formen n — a, hvor a er en Konstant, og dette kunde atter benyttes til Bevis 

 for, at Integrallogarithmen gav den asymptotiske Værdi af &(n). At Tchebycheff ad anden 

 Vej finder Integrallogarithmen for selve 0(n), beror alene paa den Omstændighed, at han 

 i Stedet for — 27(1— p~ r ) kun benytter J£p~ r , saa der ret beset ikke viser sig nogen Uover- 

 ensstemmelse mellem hans Resultat og det, hvortil de andre Methoder føre. 



Skjønt det saaledes kunde synes, at man ad denne Vej naar til en direkte Bestem- 

 melse af den asymptotiske Værdi af <p{n), have vi dog ikke benyttet den, fordi den Sætning, 

 hvorpaa Beviset bygges, hviler paa den Forudsætning, at Formlen 



ls(r) = — 27(1— p~ r ) 

 ogsaa vedbliver at være gyldig for »•=!, da de paagjældende Rækker ere divergente, 



.Sur la totalité des nombres premiers inférieurs ;'i une limite donnée. Liou ville 's Journal lld. 17. 



