246 64 



hvilken ikke uden videre kan betragtes som tilladelig. Det synes imidlertid at være muligt 

 at gjennemføre Beviset ved at tillægge r en større Værdi end 1 , men dette Punkt fordrer 

 dog en nærmere Undersøgelse, paa hvilken vi ikke her skulle indlade os. 



§ 8. Tilnærmelsesformler for å[n) og 0(n). 



Det vil af de ovenstaaende Betragtninger fremgaa, at Middelværdien af Funktionen 



z{x) tilnærmelsesvis kan sættes lig 1 eller, om man vil, lig 1 , hvor k er en Konstant, 



som er lidt mindre end — . Indsat i Formlen 1' E — r(æ) giver den T(n) -j- p \fn , hvor o 



4 2 x 



er en konstant Størrelse. Derimod have vi ikke været i Stand til at faa tilstrækkelig snævre 

 Grænser for den Fejl, som begaas ved at indsætte det samme Udtryk i Formlen for <l>(n). 

 Derved faas ganske vist for </>{n) et Udtryk, der kan erstattes ved (n — 1) — kln -f- Konst., 

 men for den virkelige Værdi af </>{n) have vi kun sikkert de af Tchebycheff angivne Grænser, 

 hvorefter man kan sætte </>(n) = n — l+Å.n, hvor À er en ægte Brøk. Vel er det meget 

 sandsynligt, at man i Stedet for ),n maatte kunne sætte et Udtryk, hvis væsentligste Led 

 var af Formen ^ÅVn, men ganske sikkert er det dog ikke. 



n j £ 



Da >t(n) = ^j-tI«), saa faas, ved ogsaa her for t(x) at sætte 1 , for fr(n) 



et Udtryk af Formen 



&{n) = 2y kl^r + RU). (1861 



1 IX 2 XIX 



Fejlen R(n) vil her let kunne vises at være af samme Orden som Fejlen i det 



k 

 tilnærmede Udtryk for (ji(n). Sættes nemlig r{x) = t(x) +f(x), hvor i(.r)=l , og f(x) 



V 



altsaa betegner den Fejl, der begaas ved at sætte t(x) for r(«), saa er 2"/'(æ) = F[n) = 



2' 

 Fejlen i (fi(n). Nu er altsaa 



2 IX 



Summeres her delvis ved Formlen 1 ) 2uv = u2!v — SiJuSv^, idet u = -j-, v=f{x), 

 Zv = F{x) og Sv t =F[x-\-l) — F(2), saa faas 



') Ramus: OilTerential- og Integralregning S. 352. 



