67 249 



Ml < »(n) - ~- » (m + Lib») -~ - »(n) ( i ~ ~) + Li(n) - ■£- , ( 1 90) 



som nærmer sig stærkt til #(n), naar ?! voxer. 



De i det foregaaende beregnede Kvadratsummer give ganske vist strengt taget kun 

 en Forestilling om Middelfejlen paa j- , betragtet som Fremstilling af S>(x), men da i 



Kvadratsummen M„ indgaa Kvadraterne paa alle de enkelte mulige Afvigelser S>[x) — y 



l 



Ü 

 saa giver den tillige nogen Oplysning om Afvigelsen mellem D-(n) og Li[n) , og navnlig 



maa denne ventes at ville blive betydelig mindre end M n . Den virkelige «Middelfejl" paa 

 Li(n), opfattet som Fremstilling af #(«), skulde bestemmes ved først at søge Kvadratsummen 



2(#(n|— £i») 2 , 

 men for denne Sum er det ikke muligt a priori at angive noget Udtryk. 

 Fra &(n) er det let at gjøre Overgangen til ff(n). Thi da 



&(n) = (n) + y 0|«*)-f- y («*) + ... , 



saa er #(n) — #(«') = Ølnl — ~H(m) + — Ø(re*) — -j6{n*) . . . < 6{n), 



saa at man faar 



&(n) > 6(n) > ?>(«) — » (nä). (191) 



Hvis Restleddet i Formlen #(»i) = Li{n) + R(n) var bekjendt, saa vilde man ved 



Indsættelse i Formlen 



S(n) = 2^(Li(ni) + B(n«)) == P(n) + 1 + ^^i2(n«) 



kunne erholde Grænser for Restleddet i Formlen 6(n) = P(n) -\- 1 -j- R'(n) ved for fi(x) 

 overalt at sætte +1. Man vilde derved finde, at Restleddet R'(n) vilde blive af samme 

 Orden som R(n). 



Hvorledes end den analytiske Form for Restleddets Grænser er beskaffen, saa er 

 det talfald for den første Del af Talrækken sikkert, at dets numeriske Værdi er meget ringe. 

 Glaisher har i Indledningen til «Factor Table for the sixth Million» for Intervaller paa 

 50000 fra til 9 Millioner sammenlignet t)(n) med Riemann's Formel saa vel som med de 

 andre Tilnærmelsesformler, som ere opstillede. Han finder, at den gjennemsnitlige Afvigelse 

 l'or hin vilde være —9, en Differens, som tilmed reduceres med en Enhed, da Glaisher 

 regner Tallet I med blandt Primtallene og altsaa i Virkeligheden betragter Differensen 



i» + I - (0(n) + 1) = P[n) - 0[n) , 

 som er en Enhed mindre end P(n) + 1 — 0(n). Retragler man Afvigelserne nærmere, saa 

 ses, at de snart ere positive, snart negative, saa at der ikke kan være Tvivl om, at 

 det netop er denne Formel og ingen anden, som skal benyttes, for saa vidt man ikke vil 

 benytte en Formel, som tilsteder Vendepunkter. Det vil endvidere ses, at selve Afvigel- 

 sernes numeriske Værdi stiger langsomt med n, men om de stige i Forhold til 



32* 



