69 



251 



Fejl af samme Orden som #(»»). Glaisher's Sammenstilling af disse Formler med de optalte 

 Primtalmængder viser ogsaa lydelig, at Fejlen er stadig voxende. Mærkeligere er det vistnok, 

 at Legendre's 1 ) Formel n 



Hm) 



(192) 



In — 1 -08366 



giver saa gode Resultater, som den i Virkeligheden gjor. Man kan naturligvis opfatte dette 

 som begrundet i, at denne Formel giver en god Tilnærmelse til Ja(ii), men denne For- 

 klaring er ikke ganske tilfredsstillende. At Formlen giver en god Tilnærmelse, siger med 

 Hensyn til Primtallenes Fordeling noget mere. Vi saa nemlig før, at man exakl maa have 



V\ 



^ E V 



Heraf følger atter, at 



i «,i I In n In \ 

 4,{n) = e(n)ln-2lp\^~E-^J , 



hvor den under 1'- Tegnet staaende Parenthes altid maa være < 1. Hele den paa højre 

 Side staaende Sum 2' maa altsaa være <.2lp, altsaa ogsaa <^(n) eller lig \.<p(n), hvor ;, 

 er en ægte lirøk. Heraf vilde der faas et Udtryk for 0\n) af Formen 



<!>(n)(\ + h) n(l + X) 



0[n) 



(193) 



In In 



naar <p(n) erstattes ved n — k, hvor k er en Konstant. Det maa altsaa, naar k„ ikke 

 betragtes som en Konstant, men som en Funktion af », være muligt at udtrykke 6(n) 

 under denne Form, og det var maaske nok Umagen værd at forsøge at finde en saadan 

 Tilnærmelsesformel. 



Men naar Legendre's Formel skal gjælde, altsaa 



eller 6 (ri). In — Bf)[n) = n, saa vil, naar <p(n) erstattes ved n — k, 



' hi _ In 



haves , at 



eller al 



ß[n)ln — BØ(ri) — k = 6(n)ln — 2lp (^ — E 



Bm'+k-iipfe-E*), 



saa at den paa højre Side indgaaende Sum væsentlig skulde voxe proportionalt med ß\n). 



Nu gjælder ganske vist Legendre's Formel ikke, naar B er en Konstant, men for 

 saa vidt denne Størrelse skal opfattes som variabel, varierer den i hvert Fald meget lang- 

 somt, og selve Legendre's Formel giver altsaa ogsaa et af disse mange Vidnesbyrd om de 

 højst mærkværdige Relationer, som Læren om Primtallene giver Anledning til. 



Théorie des nombres IV, g 8. 



