252 70 



§ 9. Intervallet mellem to paa hinanden følgende Primtal. 



Tchebycheff har anvendt de af ham fundne Grænser for <p(n) til deraf at udlede 

 Grænser for Intervallet mellem to Primtal. Da en laveste Grænse for Intervallet (for p>-3) 

 altid er 2, bliver det væsentlig den højere Grænse, hvorom der kan være Tale. En saadan 

 Grænse vil i Virkeligheden let kunne bestemmes , saafremt man for en eller anden 

 i øvrigt vilkaarlig Funktion af n, F{n), som kun varierer, naar n passerer et Primtal, har 

 angivet absolute Grænser. Antages nemlig, at disse Grænser ere udtrykte som Funktioner 

 af n ved A{n) og B{n), saa at altsaa 



A\n) < F(n) < B(n) (194) 



for alle n (eller i det mindste for alle n større end et givet Tal), og antages, at p er et 

 Primtal og p -j- a -f- I det næste, saa at altsaa intet af de a Tal, som følge efter p, er et 

 Primtal, saa vil man have F{a+p) = F(p). Da nu haves 



A(p)< F(p) < B[p) 

 samt A(pA-a) < F(p) < B(p+a) , 



saa er altsaa ogsaa 



A{p) < B(p+a) og A{p+a) < Bip). 



For saa vidt nu F(p) er en stedse voxende eller stedse aftagende Funktion, maa det samme 

 være Tilfældet med A\p) og Btp), og Grænser for Intervallet mellem to Primtal ville derfor 

 kunne bestemmes ved Opløsning af Ligningerne 



A[p) = B(p+a) eller A[p+a) = B{p), (195) 



som ville give en højere Grænse for Tallet a. Sætter man n for p, hvor n er et vilkaar- 

 ligt Tal, faar man Grænser for Afstandene fra n til de to nærmeste Primtal. Et ganske 

 tilsvarende Ræsonnement kan anvendes, hvis p ikke betegner Primtallene, men en anden 

 Række mærkelige Tal, og F[n) er en Funktion, som kun varierer, naar et af disse passeres. 



Som Exempel kunne vi benytte Tchebycheff 's Grænser for ^(ra) til deraf at bestemme 

 Grænser for Intervallet mellem to Primtalpotenser, eftersom <}>(n) kun forandres, 

 naar n passerer en saadan. Grænserne for $(n) kunne, naar Faktorerne til n gjøres lidt 

 større end de af Tchebycheff angivne, altid erstattes ved Udtryk af Formen hi, hvor À 

 betegner en Konstant, saa at man kan sætte 



An < (fi(n) < Bn , 

 hvor A og B betegne konstante Tal. Dette fører til følgende Ligning til Bestemmelse af 

 Intervallet mellem n og den næste Primtalpotens 



A(n-\-a) = Bn, 



