79 2Ü1 



§ 11. Slutning-. 



Naar vi lil Slutning kaste et Tilbageblik over de i det foregaaende fundne Resultater, 

 saa lader det sig ikke nægte, at det vundne Udbytte ikke synes at staa i et passende For- 

 hold til det store Apparat, der er sat i Bevægelse. Vi have nemlig ikke naaet noget 

 «stringent Bevis for, at en af Faktortavlerne uafhængig Funktion f(x) slutter sig saaledes 

 til 6{x), at Lim — . ^ " - = 0». Alle de Midler, vi have anvendt, have kun kunnet føre 

 lil Paavisning af, at dette sandsynligvis gjælder om den Riemann'ske Funktion, som vi 

 have betegnet ved P[æ) + 1 , og at navnlig dennes Afvigelse fra 8{x) altid ligger indenfor 

 Grænser af Ordenen ]/x . Om end mange Tegn tyde paa, at der maa endnu andre og 

 mere indgaaende Undersøgelser til, inden et saadant Bevis kan gives, saa er det dog ikke 

 usandsynligt, at vi med Hensyn lil delte specielle Problem vilde være naaede videre ved 

 alene at fæste Opmærksomheden paa de asymptotiske Værdier af de optrædende Funk- 

 tioner. Men vi have med velberaad Hu ikke stillet os paa dette Standpunkt, fordi det i 

 Virkeligheden er af større Viglighed at kjende Tilnærmelsesformler, som kunne bruges for 

 endelige Værdier af Argumenterne, og saadanne med det samme ville give de asympto- 

 tiske Tilnærmelsesformler. 



Men noget er der alligevel opnaaet ved vore Undersøgelser, og tilmed tro vi, al. 

 dette er noget væsentligt. Hvad først Riemann's mærkelige Formel angaar, da have vi ikke 

 blot ført Beviset for selve det Riemann'ske Integrals Fremkomst tilbage til forholdsvis 

 simple Forudsætninger, som tilstede en dybere Indsigt i dets egentlige Natur, men ogsaa 

 ved den Kommentar, der er givet til selve Behandlingen af dette Integral, fjernet alle der 

 forekommende Vanskeligheder og bragt Klarhed tilveje med Hensyn til Uoverensstemmelsen 

 mellem Riemann og Genocchi, om hvilken denne sidste selv udtrykker sig meget 

 beskedent. Alle Vanskeligheder ved Riemann's Udvikling ere derved førte tilbage til 

 Bestemmelsen af Udviklingen for ls(r), et Problem, som kan behandles uden Hensyn til 

 Læren om Primtallene. Tilmed have vi med Hensyn til Rødderne a kunnet give visse Vink, 

 som forhaabentlig ville kunne komme fremtidige Undersøgelser til Gode. Af mere praktisk 

 Betydning er dog den særlig smukke Form, i hvilken vi have bragt Funktionen P(w), en 

 Form, som har den store Fordel at kunne bruges til en let numerisk Beregning. 



Fremdeles tillægge vi det nogen BetydniDg, at vi have fremdraget en Del spredte 

 og lidet kjendte taltheoretiske Undersøgelser og ved at bringe disse i Forbindelse med den 

 af Tchebycheff indførte Funktion <p(x) vist, at ogsaa disse lede til at betragte, ikke Funk- 

 tionen B(x), men &[x) som den, der i disse Undersøgelser maa spille Hovedrollen. 



Vi have derved naaet ved Betragtninger fra selve Tallæren at paavise den Rolle, 

 som Integrallogarithmen maa spille ved Bestemmelsen af Primtalmængden, og selv om 



