264 82 



X 



Da — er en ægte Brok, vil denne Række konvergere, og naar man for x sætter en 

 a 



lille Størrelse, som er mindre end 1, medens a er et Tal, som er større end f. Ex. 7, 

 saa kan man ved passende Valg af x bringe Rækken til at konvergere saa hurtig, som 

 man ønsker. 



Nu kunde man her behandle hvert af disse Integraler for sig og derved erholde 

 en Række efter Potenser af as, hvilket f. Ex. Glaisher har gjort, men dette vilde være en 

 Omvej. Det maa nemlig erindres, at det slet ikke kommer an paa at finde en Udvikling, 

 der skal bruges til analytiske Undersøgelser, men at det meget snarere kommer an paa at 

 fremstille en Række sukcessive ensartede Regneoperationer, hvis fortsatte Anvendelse kunne 

 tjene til Beregning af den forelagte Rækkes enkelte Led uden Hensyn til, hvorledes disses 

 analytiske Form monne være. Og denne Opgave er let at løse. Da man nemlig ved 

 Beregningen af de enkelte Led faar Integraler af Formen \é*'x*dx, og ved delvis Integration 

 haves 



\ ex" dx = -—— — \ e°x"+ l dx , 



X n + l "+ 1 Jo 



V e J x"+'dx = e x x"+ l — (n+l) \ e r x"dx , 

 vti vn 



vo i/o 



eller omvendt 



(4) 



Vil VII 



saa ses, at hvert Led i Rækken (3) maa kunne findes, ved en rekurrent Reregning, af det 

 nærmest foregaaende. Vi behøve ikke at bekymre os om, at dette derved optræder multi- 

 pliceret med en Faktor (w-fl), da Rækkens Konvergens er sikker, og Fejlens Indflydelse 

 neutraliseres ved den paafølgende Division med en Potens af a. 



Idet vi altsaa ved A n betegne Integralet \f'( — ) dx , hvor n er et helt Tal, saa 

 haves først 



tø 



!(«,*) = ^{A — A t + A 2 ...), (5) 



a 



samt almindelig 



Da man har 



(Xtf+l „_1_| 



A = \e z dx = e x — I , 

 Jo 



saa blive de første Led i Rækken (3): N , — N t , N., . . . bestemte ved 



e^-^ N _U1 ! iV 2 = _W -cv. (7, 



