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Recherches sur la totalité des nombres premiers inférieurs 

 à une limite donnée. 



Par 

 J". P. Gram. 



Introduction. Etablir, sous une forme analytique, la loi de la distribution des nombres 

 premiers dans la suite naturelle des nombres, est un problème qui, malgré les efforts que 

 les plus grands géomètres ont faits pour le résoudre, attend toujours encore sa solution. 

 Le présent travail n'a pas la prétention d'en donner une; mon but principal, en l'entre- 

 prenant, a été de réunir sous un point de vue commun les différentes méthodes qu'on a 

 essayées jusqu'ici, de les pousser aussi loin que possible et, par là, de signaler les diffi- 

 cultés que rencontre, pour le moment, la solution du problème, comme aussi d'indiquer 

 quels sont les meilleurs moyens à employer pour y arriver et les résultats qu'il est permis 

 d'en attendre. 



Je commence, dans l'introduction, par donner un aperçu général des moyens dont 

 on dispose pour représenter une fonction discontinue comme celle dont il s'agit ici. La 

 fonction de x qui exprime la totalité des nombres premiers jusqu'à x inclusivement est 

 désignée par 0{x). Comme caractère général, elle se distingue par un nombre infini de 

 discontinuités dont la position n'est pas connue a priori. Le problème exige que cette 

 fonction soit mise sous une forme telle que sa valeur, pour une valeur donnée de x, 

 puisse être calculée exactement ou, en tout cas, avec une approximation assignable. De 

 là découlent toutes les difficultés qu'il présente. Car parvînt-on, entre certaines limites, 

 à représenter exactement la fonction par des séries trigonométriques finies, cela ne pourrait 

 se faire qu'en y introduisant les nombres premiers eux-mêmes, qui précisément sont à 

 regarder comme inconnus, et il est à supposer qu'il en serait de même si l'on essayait 

 d'employer dans le même but des intégrales définies. Si l'on veut éviter que les nombres 

 premiers entrent explicitement dans la formule, la discontinuité n'y sera plus apparente, 

 et c'est pourquoi, si 8(x) est exprimée par une intégrale définie, celle-ci ne pourra être 

 transformée que si on la traite avec la plus grande précaution. M. Riemann n'en a pas 

 moins réussi, en représentant 6(x) par une intégrale définie, à donner une formule exacte 

 de la distribution des nombres premiers; mais cette formule ne permet d'effectuer aucun 

 calcul numérique exact, bien qu'elle se laisse séparer en deux autres, dont une, qui est 

 calculable, est la meilleure formule d'approximation qu'on connaisse jusqu'ici. L'écart entre 

 cette formule d'approximation et la véritable valeur de 6(x) est en effet représenté par une 

 série périodique infinie dont on ne saurait déterminer la convergence, et qui, en tout cas, 

 varie si fortement qu'on peut dire avec certitude qu'il est impossible de la calculer terme 

 par terme. 



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