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On rencontrerait la même difficulté en essayant directement d'exprimer 6(x) à l'aide 

 d'un des développements en séries infinies qui peuvent être employés pour représenter des 

 fonctions arbitraires. En effet le nombre des discontinuités étant infini, une pareille série 

 serait sans doute très peu convergente, et c'est seulement dans le cas où l'on connaîtrait 

 à l'avance la forme de la fonction à employer qu'il serait possible, par un choix convenable 

 de la forme du développement, de trouver une série dans laquelle un petit nombre de 

 termes donneraient une formule d'approximation dont l'écart d'avec 6(x) pourrait être 

 apprécié avec certitude. 



A côté des moyens ci-dessus mentionnés pour exprimer des fonctions discontinues 

 sous une forme continue, la théorie même des nombres nous fournit dans les quotients 

 incomplets une forme de fonction dont l'emploi est tout indiqué. A l'aide de ces quotients, 

 on peut, en se servant des nombres premiers jusqu'à Vx , trouver la totalité des nombres 

 premiers compris entre Vx et æ. Mais, en général, ils ne donnent pas sous une forme 

 analytique des formules d'approximation dont on puisse se servir. Toutefois, comme M. 

 Dirichlet et plus tard M M . Berger, géomètre suédois, et Césaro, géomètre belge, 

 ont, par ce moyen, réussi à donner des formules d'approximation pour la valeur moyenne 

 de certaines fonctions symétriques des diviseurs d'un nombre, il y a lieu de rechercher si 

 l'on pourrait faire quelque chose d'analogue pour les nombres premiers. Cela ne semble 

 cependant être guère possible directement, bien qu'il y ait une connexion visible entre les 

 résultats qu'on peut obtenir par cette voie et la formule de Rie mann. 



Les nombres premiers eux-mêmes devant être considérés comme inconnus, il faudra, 

 pour traiter le problème à fond, partir de formules où certaines fonctions connues se 

 trouvent combinées avec des fonctions de nombres premiers, et qui renferment ainsi des 

 définitions implicites de ces derniers. Comme le théorème de Wilson ne semble, sous 

 ce rapport, être susceptible d'aucune application, il ne reste que deux de ces formules, dont 

 l'une (2) ') est due à Euler et l'autre (131) à M. Te heb y c h eff. 



C'est donc autour de ces formules, comme points principaux, que se groupent les 

 recherches suivantes. 



g 1. Fonctions symétriques de tous les nombres premiers. Dans ce 

 qui suit, nous désignons un nombre premier en général par p et une suite de nombres 

 premiers par a, l>, «... et nous ne rangeons pas le nombre 1 parmi les nombres premiers. 



Nous désignons en outre par s(r) ou s r la somme En~ r = \~ r -\- 2~ r -(-3 — r -\- . . . 



i 

 On a ainsi, d'après Euler, la formule: 



mi-p-n = ±, (2) 



qui sera applicable en tant que mod. r > 1. Les formules (3) et (4) qui s'en déduisent sont 

 dans le même cas, et on peut de la même manière déterminer les valeurs de la fonction 

 correspondante ll(l+p~ r ). Cette fonction est infinie pour r = I , d'où il suit que 



') Les numéros des formules sont les mêmes que dans le mémoire danois. 



