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77(1 — p—') = O, tandis qu'il est incertain si la série, qu'on obtient en effectuant la multi- 

 plication et en ordonnant les termes suivant les valeurs croissantes des dénominateurs est 

 convergente ou non. 



Eu 1er a aussi trouvé plusieurs relations analogues, dont l'une, qui a été démontrée 

 par Mertens, peut servir à prouver qu'il y a une infinité de nombres premiers de chacune 

 des formes in -f- I et An — 1. 



Le reste du paragraphe est consacré à des développements concernant la fonction 

 8{r), parmi lesquels nous mentionnerons l'expression trouvée par M. Riemann (15), en 

 nous référant pour les détails à son mémoire original (Monatsber. der ßerl. Akad. 1859). 



§ 2. Quelques séries spéciales. Facteurs de M ob i us. Si, dans le pro- 

 duit 77(1 — p~ r ), on effectue la multiplication et ordonne les termes suivant les valeurs 

 croissantes des dénominateurs, on obtient une série qui peut s'écrire sous la forme: 



—- = 2a (x).x~ r = 1 - 2-' — 3" r — 5-'' + 6"'' — 7-'' + lO-r -f . . . 

 s{r) t r 



ß\x) désignant un facteur qui est égal à 1 lorsque x est un produit d'un nombre pair de 

 différents facteurs premiers, à. — 1 lorsque ce nombre est impair et à lorsque x renferme 

 un facteur divisible par un carré. D'après Möbius, qui, le premier, a fait de ces facteurs 

 l'objet d'une recherche méthodique, nous les appelons facteurs de Möbius. Leur pro- 

 priété la plus importante est celle qui est exprimée dans la formule (22), à savoir que la 

 somme de tous les /i qui correspondent à tous les diviseurs d'un nombre entier arbitraire 

 est égale à zéro. De là l'emploi qu'on a fait de ces facteurs pour résoudre des systèmes 

 particuliers d'équations. A-t-on en effet, entre deux systèmes de fonctions X r et Y r , des 

 relations de la forme: 



F, = EXr , Y 2 = 2X 2r , Y 3 = SX* . . . (23) 



on trouve: X x = I^{r)Y{r) , X 2 = 2>(2r) Y(2r\ , X 8 = 2fi(lr)Y($r) . . . (24) 



naturellement dans l'hypothèse que les séries dont il s'agit, si on les prolonge à l'infini, 

 sont convergentes. 



Dans ce qui suit, sont, d'après Möbius, développés plusieurs exemples parmi 

 lesquels nous citerons les importantes formules (28) et (33): 



00 | oo J v 



2>(*)- = 0; 2>M-=-l, 



1 iL J ils 



qui néanmoins ne peuvent être regardées comme complètement démontrées, comme on ne 

 peut juger de la convergence des séries dont il s'agit. On voit cependant plus loin (i8) 



que la première, en tout cas, ne peut être divergente, mais est égale à — + une fraction. 



Parmi les autres applications des facteurs de Möbius, nous citerons encore la 



formule : F(x) = /(*) + .!/(**) + y/(«i) + . . . (38) 



qui, par inversion, donne : 



f(x) = Fui — y F(x*) - y F[xi) - ... (3!)) 



