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Si F(x) est une fonction qui puisse être développée en une série convergente suivant les 

 puissances croissantes de Ix, il en sera de même de f{x), de sorte qu'à: 



F{x) = alx -f b{lx) 2 + c(lxf -f . . . (40) 

 correspond: , 



f(x) = — la + — |k)» + — (tø) 3 + . . . (41) 



g 3. Détermination de 0(æ) par des intégrales définies. Formule de 

 Rie mann. Si l'on désigne par n{x) une fonction égale à 1 lorsque x est un nombre 

 premier et à lorsque x est un nombre composé, la formule (3) pourra s'écrire: 



h{r) = — 2n(x)l(\— z-*), (49) 



i 



ou si w{x) désigne une fonction qui est égale à 1 pour x=p, à — pour æ=p 2 et, en 

 général, à — pour x=p", mais à lorsque x = 1 ou est composé de différents facteurs 



P remiers: b(r) = 2<~o(x)x-: (50) 



i 



Ces équations renferment donc des définitions des fonctions n(x) et w{x), lesquelles per- 

 mettent de les déterminer. C'est ce qu'a fait M. Riemann à l'aide d'intégrales définies. 



g- r - i dz i l'équation (50) devient: 



— k{r) = \f(z)z~ r - i dz. (52) 



r J d 



Cette fonction f(z) a une importance particulière. Si l'on désigne par &(x) la 



fonction: . 



§(x) = «W + y^)+y^)+... (S3) 



somme que nous appellerons «Totalité des puissances des nombres premiers divisées par 

 leurs exposants», parce qu'elle donne, jusqu'à x inclusivement, la totalité des nombres 

 premiers, plus la moitié de leurs carrés, plus le tiers de leurs cubes, etc., on aura: 



f{x) = i-(#(*_0) + #(•+<>)). 



En se servant des intégrales de Fourier, M. Riemann détermine f{x) par la 

 formule (54), mais on peut par une autre voie arriver plus directement au même résultat. 

 En transformant l'intégrale de Laplace (55), on trouve en effet l'intégrale: 



' * t+ * dz 



lien \ k + zi »»(»+«0 ' 



'.7171 \ 



où la constante k est une grandeur positive et qui, pour x > I, représente une fonction dis- 

 continue dont la valeur est pour p" > x, =- pour p" = x et — pour p" < x. Si main- 

 tenant on remplace successivement dans cette intégrale p par tous les nombres premiers et n 



