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par tous les nombres entiers et fait ensuite la somme, on arrive, en supposant k~>\, 

 à représenter f(x) sous la forme: ~ +x 



/(*) = J ' - \ r-j . • * • s (i + zi) dz. ( 57 ) 





Dans ce qui suit, on a, pour abréger, posé i-j-*i = r. 



En employant la même notation, on trouve que l'intégrale de Laplace est un cas 

 particulier de la suivante: (i+x , 



x r \ 'ÏTia'fi pour æ > 1 , 



7=ß dz - \ pour*<l, (58) 





la partie réelle de r étant plus grande que la partie réelle de la constante ß. 



Les formules (59) et (60) représentent des formes semblables. On en déduit 



SO 



facilement différentes fonctions analogues a /(#), en remplaçant x par — et en prenant la 



somme des intégrales correspondant à diverses valeurs de n. Les équations (61) — (66) 

 en fournissent des exemples. Soit par ce procédé, soit par l'intégration partielle de (57), 

 comme l'a fait M. Riemann, on obtient la formule: 



\a: r I)r(— ls(r)\dz = —2nlx.f(x), (67) 



qui est celle qu'il est préférable d'employer pour représenter l'expression finale de f(œ). 



Dans ce qui suit, est exposée la méthode qu'a suivie M. Riemann pour transformer 

 cette intégrale en y introduisant l'expression trouvée par lui pour log s[r). Nous avons 

 donné ce développement tout au long, parce que M. Genocchi est arrivé à un résultat 

 qui diflére un peu de celui de Riemann, et que le développement lui-même est très 

 concis chez ce dernier. 



Riemann se sert pour ls(r) de la formule suivante: 



les racines de l'équation transcendante: 



m _ C d(*\£*)) x _ k cos (^_ tlx y lx = 0j 



ls(r) = —l„-l[r-\)-ir(-j + \)+2al\\+ V J' ) + l£{0). (69) 



Les grandeurs a sont les racines de l'équation transcendante: 



et sont sans doute toutes réelles, la partie imaginaire étant au moins comprise entre les 

 limites +Jt; elles se présentent en outre deux à deux avec des signes contraires. Nous 

 nous référons, quant à ce point, au mémoire original de M. Riemann, en remarquant 

 que, bien qu'il ne puisse régner aucun doute sur l'exactitude de son développement, il ne 

 semble cependant pas possible d'arriver par la voie qu'il indique à la connaissance exacte 

 des racines a. 



En transformant le terme qui renferme 2' a , on trouve que cette somme peut être 

 remplacée par: 



