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Cette transformation montre que le terme constant dans la formule de M. Riemann, f(0), 

 disparaît complètement et est remplacé par ^2, comme l'indique M. G en o ce hi. 



Il reste à introduire dans l'intégrale les termes de la formule de ls(r) et à intégrer 

 terme par terme. Pour faciliter l'intégration, on se sert de l'intégrale B(x) (73), qui a 

 pour valeur: r» „ 



InUY^dß. 



Relativement à la détermination des limites de l'intégration, il faut remarquer que 

 cette formule suppose que la partie réelle de r — ß doit être positive. Cela est facile à 

 obtenir, en ce qui concerne les termes qui proviennent de la fonction r, en intégrant de 

 ß = — oo h ß = — 2», et tous les termes qui y correspondent seront donc compris dans 

 l'expression : 



[ _Jx_ 

 » {.v°-—\).vlv 





qui, pour x > 2, est toujours < \ . 



Le terme qui provient de l[r — 1) mérite une attention particulière. Il faut ici 

 déterminer la fonction correspondante B\x) en posant: 



S+a, ni 



x'-D,. ~ l(j - 1 \dz = 2 n lx\ ~ dß , 



et avoir soin de choisir la limite inférieure et le contour le long duquel on fait l'intégration 

 de manière que la partie réelle de r — ß soit toujours positive, et qu'en intégrant le long 

 du même contour on ait: 



S 



ß(r—ß) 



7 dß = l(r — I) 



On peut y arriver en prenant pour limite inférieure — ao et pour intégrale la moyenne 

 entre deux intégrales pour lesquelles on intégrera le long d'un contour différent, de manière 

 que l'intégrale singulière provenant du pole ß = disparaisse. On trouve alors: 



Btx) \ x? C'*' /J 



expression qui est identique avec le logarithme intégral IA(x) défini par la série (75). Le 

 symbole [«] désigne ici comme plus loin le produit 1.2... m. On traite de la même 

 manière les termes qui entrent dans la somme 2' a et obtient ensuite le résultat final sous 

 la forme : 



f{x) = Li(x) -Z a (Li^+«) + LHJ-"))+{-±- l ^-12, 



(77) 



qui ne diffère de celle de Riemann que par la constante, laquelle, au lieu de /f(0), est 

 12 comme chez Genocchi. 



