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La formule de Riemann, et c'est en quoi consiste sa valeur scientifique, donne 

 pour f[x] une expression explicite qui représente cette fonction sous une forme telle, 

 qu'on peut en séparer Ià(x) comme une partie continue, tandis que le terme 2' a a un 

 caractère essentiellement périodique. Mais pour juger de l'influence de ce terme, il faudrait 

 avoir une connaissance plus exacte des racines a, de manière, au moins, à pouvoir indiquer 

 les limites entre lesquelles cette série est comprise. Tant que cette condition ne sera pas 

 remplie, on devra se contenter de montrer l'exactitude de la formule en la comparant avec 

 les quantités des nombres premiers énumérés, ce qui permet de constater que les écarts 

 sont insignifiants dans les limites de ces enumerations. Le rôle prédominant du terme 



Li(x) est du à la circonstance que s(r) = 00 pour r = 1 et, notamment, que s(r) = " , 



où 11 est une fonction qui converge vers l'unité en même temps que )', ainsi qu'il résulte 

 des recherches de MM. Dirichlet et Tchebycheff. En effet, la substitution de 



T à s{r) dans les formules (G3) et (64) donnera des formules d'approximation très satis- 

 r — 1 



faisantes. Ouant h calculer exactement #(.»•) par la formule de Riemann, cela doit être 

 regardé comme impossible même en supposant connues les racines a; tout ce qu'on peut 

 espérer, c'est, dans le cas le plus favorable, de déterminer les limites des écarts d'avec le 

 terme Li[x), limites qui semblent devoir dépendre de V ' x . 



Après avoir trouvé une expression pour &(x), on peut déterminer 6(x) par inversion 

 de la formule (55) à l'aide des facteurs de Mobius. Celte opération peut se faire pour 

 chaque terme dans (77), après quoi on obtiendra la formule correspondante pour 



1 (0(.* + O) + 0( X — O)). 



En considérant dans f{x) d'abord le terme Li{x), on a: 



U(x) =C + & + T + I p + I 3 îï +... 



La partie de cette série qui contient les puissances croissantes de Ix donne par 

 inversion, d'après (41), la série correspondante: 



m - [Trr7 2 + [2p^ + i3r3r 4 + ■ ■ ■ ,86) 



et, dans la supposition que les formules (28) et (331 sont exactes, on obtient d'une manière 

 ana,08Ue: jfiWfc + iiE) 



de sorte que: 



Li(x) — — Liié) - ~ Li[xh . . . = I + P(x). 



Le terme ■ — /2 dans (77) disparaît par l'inversion, tandis qu'on ne peut déterminer l'in- 

 fluence des deux autres termes. Mais il est permis de supposer qu'ils n'ont pas grande 

 importance, et c'est pourquoi nous adoptons comme résultat définitif de ces recherches 



rexp, ' ession: 0(x)=P(x)+\ 



pour formule d'approximation de H(x) ou plus exactement de J (#(.r + 0) -j- 0(x — 0)). 



Mais bien qu'on ne puisse guère mettre en doute la valeur de cette formule, 

 elle ne saurait cependant être regardée comme démontrée tant qu'on ne sera pas parvenu 



Videnskab. Sclsk. Skr., G. Række, naturviilensk. og matli. Afd. II. 6. 38 



