29G 114 



à éclaircir complètement la nature de la série qui renferme les logarithmes intégrais ima- 

 ginaires, et, en particulier, à déterminer les racines « qui y figurent. Il est vraisemblable 

 qu'elles dépendent d'une manière simple des nombres premiers ou peut-être plutôt de 

 leurs logarithmes. 



g 4. Quotients incomplets. Théorèmes de Berger et de Ce s år o. 

 Nous avons cherché, dans ce paragraphe, les résultats qu'on peut obtenir par l'emploi 



71 



des quotients incomplets, que nous désignons, d'après Legendre, par le symbole E — , où 



n et a sont généralement supposés être des nombres entiers. 



La proposition principale sur laquelle sont basées ces recherches s'obtient en 

 ramenant la série générale: 



'(*t)+*(*t)+*(*t)+-'(*t) 



à la forme: 



A F(q) +A 1 F(q+l)+ . . . A „Fin). 

 Les transformations qui en résultent ont pour expressions les formules générales 

 (91) — (96), dans les dernières desquelles q désigne. E\/n et /(.«•) = F[.v) — F(æ — 1). Un cas 

 particulier de (96) est la formule de Dirichlet: 



SE— = 2IE—-q a - , (103) 



, œ , x 



qui permet de déterminer approximativement le nombre des diviseurs dans les nombres de 



I ii n, comme on a d'après (104): 



ÏE— = nln + n (2C— 1) -j- p\/n , [p < 3) 

 i *' 



où C est la constante d'Euler. Une telle formule a été employée par M. Dirichlet et, 



récemment, par MM. Berger et Cesàro pour la détermination de fonctions symétriques des 



diviseurs des nombres; quelques-uns des résultats de M.Berger sont reproduits dans (107). 



Les formules (97) — (99) représentent une généralisation des formules correspon- 

 dantes (90), (93) et (96); c y désigne une variable qui parcourt une série de »nombres 

 particuliers» choisis arbitrairement de 1 an, et @(n), le nombre de ceux qui sont < n. 



Différents exemples de l'emploi de ces formules sont donnés tant par M. Berger 

 que par M. Cesâro. 



g 5. Applications aux nombres premiers. Ce paragraphe renferme une 

 série d'exemples de la détermination de la totalité des nombres premiers à l'aide des quo- 

 tients incomplets. 



Le plus simple est la formule bien connue (109) pour la détermination, jusqu'à 

 x inclusivement, de la quantité des nombres qui ne sont pas divisibles par les nombres 

 premiers o, b, c... formule qu'on peut employer pour calculer d(æ) — 6{x*). Dans ce qui 

 suit, on se sert en effet du cas spécial de (100) exprimé dans la formule: 



W-M-i-JL, ,110] 



