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laquelle fournit les moyens d'exprimer les différentes summes SE — , SE— s, l'E ,, etc. 



1 P P a " 



à l'aide des quantités des nombres premiers, et conduit aux relations identiques: 



À») + «(y)+»(y) + --- == 2 ^7^ < m > 



fw + 5(i)+j(i) + ...-^+^-t-^ + ...; («i») 



•W + #(i)+*(-f)+...-^ + 4-^ + T ^+... die) 



Le symbole _£(«) désigne ici le nombre des puissances des nombres premiers jusqu'à n 

 avec un exposant entier. 



Ces formules peuvent ensuite servir à déterminer 0(n), pin) el &{n) à l'aide des 

 facteurs de Môbius. Par l'inversion de la formule de 0(n), M. Bougaïeff a ainsi obtenu 

 la formule (119); plus simple, est cependant la suivante: 



pin) = SE- - 2SE~ + ZSE^- ... (i 25) 



a «(> abc 



qui peut aussi s'écrire sous la forme (126). 



Au lieu de représenter cette formule par l'inversion directe de (115), nous l'avons 



rattachée à la formule (118), qui donne la fonction symétrique Sf(d z ) formée de tous les 



diviseurs des nombres de I à n qui appartiennent à une série de «nombres particuliers» z. 



Elle nous apprend, par ex., que SE— désigne la totalité, des diviseurs des nombres 



n 

 de 1 à n qui sont premiers, SE—r, le nombre de ceux qui sont un produit de deux 



nombres premiers, etc., d'où une vérification facile de l'exactitude de (125) et des formules 

 analogues. 



Nous considérons ensuite les formules qui déterminent la fonction (pin) de Tche- 

 bycheff. On montre d'abord que: 



SI* = SI P (e^+E^+e£ + ...), (.29, 



et en transformant cette expression par l'introduction de la somme des logarithmes des 

 nombres premiers jusqu'à n inclusivement, somme qui est désignée par F(n), on obtient 

 les deux équations: 



Tin) == Six = l(n) + 4' ( \) + <l> (y) + • • • = \<l> (-J-) 



(131 



et (j)(n) = F{n) + Fin") + F(n») + . . ., (130) 



ou aussi <p(n) = Elp.E-j-- (132) 



Les deux formules (130) et (131) sont celles que M. Tchebycheff a le premier données 

 dans son célèbre «Mémoire sitr les nombres premiers»; elles permettent, par un double 



ploi des facteurs de Môbius, de déterminer l'importante l'onction <l>(ri). 



Tin) peut aussi être exprimé de plusieurs autres manières par <j){n); en prenant 

 la différence entre T[n) et T(n — I), on déduit de ces transformations les formules: 



38* 



