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In = Zw(— )l— = 2m[d)ld, (134) et (136) 



i \ x J x | 



où w(x) désigne, comme auparavant, une fonction qui est égale à — lorsque x==p m et 



nulle dans tous les autres cas, et cl tous les diviseurs de n. 



(les équations, qui sont évidentes, peuvent, de même que la formule T(n) = 



w 71 



2' E — S>{x)lx, être considérées comme de simples définitions de la fonction w{x), et s'il 

 i x 



était possible de déterminer S>{%) exactement ou approximativement, on obtiendrait par som- 

 mation des formules d'approximation correspondantes tant pour ë[n) = 2w{x) que pour 



1 

 (p{n) = 2<b(x)lx. Nous sommes donc conduit ici, comme par la formule de Riemann, 



i 

 à considérer la fonction ë{n) comme admettant, au point de vue analytique, une définition 



plus simple que 0(n) elle-même. 



Le reste du paragraphe est consacré à différentes formules qui donnent de curieuses 

 identités entre les quantités des nombres premiers. Elles sont des conséquences des for- 

 mules générales développées plus haut, mais on ne saurait guère en faire d'autres appli- 

 cations et, notamment, elles ne se prêtent pas plus que les relations qui précèdent ;ï 

 l'établissement direct de formules d'approximation analytiques. 



g 6. Détermination approchée de la fonction m(x). En nous basant sur 

 les définitions précédentes de m(x), nous avons cherché, dans ce paragraphe, à déterminer 

 la valeur moyenne de cette fonction ou plutôt de w(x)lx, qui y est désignée par t{x). 



Nous considérons d'abord les formules (145), dont la première, lu = 2'zi—j, peut seule- 

 ment servir à la détermination de r(.r) par l'emploi des facteurs de Möbius. Mais une com- 

 paraison de deux formules : 



In = Î(e— — .E — W'> et &» = £—*(*), 



l \ X X J l X 



dont la dernière définit une fonction t(x) qui doit se rapprocher de la valeur moyenne de 

 z(x), semble indiquer que celle-ci converge vers l'unité lorsque n croit indéfiniment. La 

 troisième expression: l n = 2'r(d), 



su la somme 2 comprend tous les diviseurs du nombre n, donne le même résultat. En 

 remplaçant z(x) par une fonction t(x) déterminée de manière que sa valeur moyenne, prise 

 par rapport à tous les diviseurs dans un nombre voisin de n, soit ln, on trouve à l'aide 

 des formules (107) qu'elle est déterminée par: 



t(7l) =1 -, (H7) 



où k est une constante. Cette valeur peut donc être considérée comme la valeur moyenne 

 de tous les r qui correspondent aux diviseurs des nombres dans le voisinage de ». 



On peut aussi considérer directement la formule T(n) = SE—r[x), en formant 

 ta valeur moyenne de tous les z correspondant aux valeurs de x depuis 2 jusqu'à n, avec 



