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les poids E — . Cette valeur moyenne est alors donnée par les formules: 



r,N ^ï^^'-^-w^ 1 ,,48) cl ,,/,9) 



2 X 



et converge également vers la limite 1 lorsque u croit. 



Il n'est pas sans intérêt de former la valeur moyenne de tous les t compris 



dans la différence T(n) — 2 7'( Æ -„■), où tous les coefficients sont nuls ou égaux a I, 



comme on le voit par l'exemple (152). Cette valeur moyenne devient: 



et se rapproche plus de I que les autres valeurs moyennes. 



Les résultats obtenus indiquent bien que la valeur moyenne d'une série de z{x) 

 successifs doit se rapprocher de la limite 1 , mais ils n'en donnent pas une démonstration 



satisfaisante, comme on n'a pas réussi à trouver, pour une somme de la forme Sz{x) , une 



i 

 expression suffisamment exacte qui put servir à former une valeur moyenne de la fonction 



r(.r) où tous lés poids fussent égaux. La formule qui satisfait le mieux à cette condition 



est l'expression (156) pour r 2 (n). II n'y entre en effet que des poids qui sont tous nuls 



ou égaux à 1, et, chose à remarquer, tous les t(x) qui correspondent à des valeurs de x 



n ...... 



comprises entre — et n ont pour poids 1 unite. 



Mais ces valeurs moyennes ont cependant quelque importance, en ce sens qu'elles 

 confirment que la partie continue de la formule de Riemann donne une bonne approxima- 

 tion de la totalité des puissances des nombres premiers divisées par leurs exposants. 



g 7 La fonction fiix). Comme <p(n) = Sr(x), on doit s'attendre, d'après ce 



qui précède, à ce que cette fonction ne s'écarte pas beaucoup de n — 1, et cette expression 

 mise dans la formule : 



nw-f*(£), 



donnera aussi une bonne approximation de la vraie valeur de T\n). La détermination 

 directe de <p[n) par cette formule s'obtient par inversion à l'aide des facteurs de Möbius, 

 comme le fait voir la formule (160). C'est par cette voie que M. Tchebycheff a trouvé 

 les véritables limites de <p[n) indiquées dans (166). Mais ces limites sont certainement 

 beaucoup trop larges. Nous avons essayé d'employer d'autres formes de <p{n) obtenues 

 par inversion, mais sans résultat satisfaisant, bien que la formule : 



<}>[n) = — 2fi(x)E—-lx (170) 



i x 



présente quelque intérêt comme étant très voisine de la formule (33) de Möbius. 



