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Par contre, la méthode de Riemann peut donner pour (j>(n) , ou plutôt pour 



.1. (^( M _.0)-(-^(n-j-0)), une expression qui mérite d'être remarquée. Un l'obtient en traitant 

 l'intégrale: r*+™ 



2 x<f> (x) = — V y D r ls (r) dz (171) 



de la même manière que celle de Riemann. En effet, en introduisant dans cette inté- 

 grale l'expression qu'il a donnée pour ls(r), et en intégrant terme par terme, on trouve: 



,,, „ - i „ .', cos alx + «sinaLr , , ,,_„, 



<P(x) = (*_!) — l{\ — ar- 2 ) — 1a:ï2 a l r^H + ; - > < 178 ) 



T 



a" 



où À est une constante dont la valeur est voisine de 0. Cette formule est analogue à 



celle de Riemann pour &(x) et présente, quant aux termes périodiques, les mêmes 



manques provenant des racines «; mais elle est beaucoup plus simple, et comme &[x) 



peut être déterminée par <j>[x) avec une approximation assignable, il sera sans aucun doute 



plus pratique de s'attacher principalement à trouver cette dernière fonction. 



En raison de l'analogie de cette série périodique avec la série périodique (181), 



j'ai déduit de celle-ci une série (183) complètement analogue à E a , cl dont la somme 



peut être exprimée à l'aide de nombres premiers et de quotients incomplets. Quoique 



cette série n'ait pas été ramenée à la fonction <p(x), il semble cependant qu'une telle trans- 



Ix Ix 



formation pourrait être opérée en remplaçant les différences j E -j- par des séries 



trigonométriques infinies, de sorte qu'il serait possible, par cette voie indirecte, de déterminer 

 les racines «, qui peut-être sont des fonctions simples des nombres premiers eux-mêmes. 



Un pareil résultat serait un progrès, en ce sens qu'on passerait ainsi directement 

 d'identités purement numériques à la formule de Riemann, et arriverait par suite à mieux 

 pénétrer le caractère de cette dernière, mais les difficultés relatives à la détermination des 

 limites absolues des erreurs n'en seraient pas nolablement diminuées. 



Qu'il soit possible de passer directement d'une de ces espèces de formules à l'autre, 



c'est ce qu'on peut constater en considérant, entre autres, la formule suivante, qui est un 



supplément de (167): 2mitlx 



1 M 1 *"> , lp 



f(x) = 0{g)lx-±i:ip + -Zlp —J— , (184) 



où g désigne une limite arbitraire > x, et où la somme 2' s'étend à tous les m de 1 àœ 

 et a tous les p<g. On trouve cette formule en décomposant dans la fonction: 



_L = /TAi-p-n, 



o(r) i 



où le produit // est pris pour tous les nombres premiers < g, chaque facteur en fadeurs 

 linéaires par rapport à r, et en introduisant ensuite l'expression ainsi obtenue dans l'inté- 

 grale de (p(x). En effet, on obtiendra de cette manière le même résultat qu'avec ls\r) lui- 

 même, qui contient tous les nombres premiers. Une formule correspondante pour U(x) est 

 donnée dans (83) ou (84 1. Enfin, on peut, au moyen de (185), transformer directement (181) 

 en une expression connue : , ,„ ; 



(ji(x) = ElpEj- (voir 132). 



