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hans une note ajoutée à la fin de ce paragraphe, on fait remarquer <pie les termes 

 dominants dans les formules de <p(x) et de &[x) proviennent du terme — £(»•— I) dans la 

 formule de ls(r), et qu'il en est de même des formules (63) et (64), où le degré d'approxi- 

 mation est en outre facile à calculer. 



On fait également observer que la marche suivie par M. Tchebycheff dans son 

 premier mémoire »Sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée», 

 conduit à une détermination de lim <fi(n) , pour n — ce , qui s'accorde avec ce qui 

 précède, car les considérations qu'il fait valoir montrent, avec un léger changement, que 



as 



2(1 — T{x))x-''{lr)'", pour m = 0, 1,2..., continue à être une grandeur finie, lorsque r 



converge vers 1. Nous nous sommes contenté de cette indication parce qu'il nous semble 

 que M. Tchebycheff n'a pas suffisamment justifié le point de départ de ces formules; 

 ce qu'il s'agit surtout ici de montrer, s'est que son résultat, la formule d'approximation 

 Li(x) pour 0(x), n'est pas en opposition avec la formule de IViemann; tout au contraire, 

 il serait précisément arrivé à établir la même formule pour ê(x) si, au lieu de — 27(1— p~ r ), 

 il ne s'était pas seulement borné à employer le terme 2p~ ''. 



g 8. Formules d'approximation pour &(n) et 6 (ri). Lorsque la valeur 



moyenne de r(w) est égale à I , la valeur moyenne correspondante de </>(n) sera n — I 



" 1 

 et celle de &(n), 2y-. Dans tous les cas, on peut poser z(x) = i(x) -\-f[x), où i(x) 



désigne la valeur moyenne de t(x) I par conséquent I ou, si l'on veut, 1 — 1, et, en même 



" " '"(Ar) 



temps, on aura é(n) = Zt(x) + F (ri), où F(n) = 2f(x), de même que #(n) = 2'-r — \- lt(n), 



2 2 2 IX 



" f(x) 

 où l'erreur R(n)=2-.— , comme il est facile de le montrer, est du même ordre que 



l'erreur dans l'expression approchée de <p(n). En introduisant dans <p(n) les limites de 

 M. Tchebycheff, qui donnent F(n) = X.n, on voit que, pour l'écart entre #(n) et Li(n), 

 les limites sont proportionnelles à la fonction t}(n) elle-même, et il résulte également de 

 (HH) que 0(n) pourra, avec une approximation analogue, être déterminée comme J'(.r)-\-U 

 Nous n'avons pas réussi à établir pour les écarts des limites absolues plus étroites que 

 celles qui découlent des limites de Tchebycheff pour <p(ri), mais il n'est guère douteux 

 qu'il ne soit possible de trouver des limites de la forme ^ÀVn , où À est une constante. 

 Par contre, il est facile de calculer la somme des carrés des écarts entre r(x) et 1 

 comme entre &(x) et y- . On trouve respectivement: 



S = 1\t(x) — I) 2 < l-2(ln — \)n 



ou, d'une autre manière, l'expression (190). Ces deux dernières formules, qui ne donnent 

 certainement que des approximations grossières, indiquent qu'une grandeur proportionnelle 

 à |Ay|») doit donner une limite supérieure pour l'écart moyen entre &(n) et Li(n). 



