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Ainsi qu'il résulte Jes comparaisons que M. Glaisher a entreprises entre les 

 différentes formules et les quantités des nombres premiers véritablement énumérés, la 

 formule de Riemann, en tant qu'elle a pu être vérifiée, est très supérieure aux autres, 

 et il ne doit guère être possible d'obtenir de bien meilleurs résultats en employant des 

 formules continues qui ne donnent pas des courbes avec des points d'inflexion. Cependant 

 il pourrait valoir la peine d'essayer pour H[n) d'employer une formule d'approximation de 



la forme: n(l-Mi) 



n = 



In 



où À' est une fonction /(n), une forme qui se rattache étroitement à la formule </>(n) = n — I. 

 Mais il faut, d'après ce qui précède, regarder comme certain qu'on commet une 

 erreur systématique de l'ordre #(n*) en employant le logarithme intégral comme formule 

 d'approximation pour H{n) au lieu de #(n). 



g 9. Intervalle entre deux nombres premiers consécutifs. La limite 

 supérieure de cet intervalle pourra facilement être déterminée quand on aura trouvé les 

 limites absolues d'une fonction arbitraire F(n\ qui varie seulement lorsque n passe par un 

 nombre premier. En effet, en supposant que ces limites sont des fonctions de n exprimées 

 par A(n) et B(n), de sorte que: 



A(n) < F(n) < B(n) (194) 



pour tous les n plus grands qu'un nombre donné , et en désignant par p un nombre 

 premier et par p -\- a -\- l le suivant, on trouvera la limite supérieure de a en résolvant 

 une des équations: 



A(p) == B(p\-a) ou A{p+a) = B(p)\ (195) 



En employant la même méthode pour déterminer l'intervalle entre deux nombres 

 consécutifs qui sont des puissances de nombres premiers dans le voisinage du nombre n, 

 on trouvera facilement, à l'aide des limites de M. Tchebycheff pour <p(n), que: 



a < 4-» + 3Vn ; (198) 



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mais on peut regarder comme certain que cette limite est beaucoup trop élevée. D'autre 



part, si l'on pouvait montrer que les limites de </>(n) dépendent de Vn comme on l'a 



supposé dans (199), la limite de l'intervalle serait aussi déterminée d'une manière tout à 



fait analogue. 



Pour mieux voir comment l'intervalle varie en réalité, j'ai réuni dans le tableau 



p. 255 les intervalles relativement les plus grands entre les puissances des nombres premiers 



dans la première partie de la suite des nombres, ainsi que quelques-uns des intervalles les 



plus considérables au-dessus de 100, et les ai comparés soit avec Vn , soit avec in et 



\lrif-. Il semble résulter de cette comparaison que l'intervalle croît moins fortement que 



Vn mais plutôt comme (In) 2 . On pourrait sans doute en représenter la limite par une 



série très convergente de la forme: 



a = a + ßln -f r \ln)" + d(ln) 3 + ..., 



où les coefficients sont d'une nature telle, que le troisième terme est le terme dominant 



dans la parlie de la suite des nombres pour laquelle on a des tables de diviseurs. 



