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g II. Conclusion. Si, en terminant, nous jetons un coup d'oeil en arrière sur 

 les résultats qu'ont donnés les recherches qui précèdent, nous ne saurions nier qu'ils ne 

 semblent guère être en rapport avec le grand appareil qui a été mis en œuvre. Nous 

 n'avons en effet établi par aucune preuve rigoureuse qu'une fonction /(«), indépendante des 



ß[x\ fix) 



laliles des diviseurs, est liée à ffl.v) de manière que Lim — -. — f — = 0. 'fous les moyens 



f\x) 

 que nous avons employés ont seulement abouti à montrer que tel est probablement le 

 cas de la fonction de Riemann que. nous avons désignée par P[x)-\-l, et notamment que 

 son écart d'avec 6(a\ est toujours compris dans des limites de l'ordre Vx. Bien que 

 beaucoup de signes indiquent que d'autres recherches plus approfondies seront encore 

 nécessaires pour établir une pareille preuve, il n'est cependant pas invraisemblable que, 

 relativement à ce problème spécial, nous nous serions approché plus près du but en 

 fixant exclusivement notre attention sur les valeurs asymptotiques des fonctions dont il 

 s'agit. Mais c'est à dessein que nous ne nous sommes pas placé à ce point de vue, 

 parce que, en réalité, il importe davantage de connaître des formules d'approximation qui 

 puissent être employées pour des valeurs finies des arguments, et que de telles formules 

 donneront en même temps les formules d'approximation asymptotiques. 



Mais nous avons pourtant obtenu quelque chose par nos recherches, et nous 

 croyons en outre que c'est quelque chose d'essentiel. En premier lieu , pour ce qui 

 regarde la remarquable formule de Riemann, non seulement nous avons ramené la preuve 

 de l'origine de son intégrale à des données relativement simples qui permettent d'en 

 pénétrer plus profondément la nature, mais, par le commentaire dont le traitement même 

 de cette intégrale a été l'objet, nous avons aussi écarté toutes les difficultés qu'elle présente 

 et éclairci le désaccord existant entre les formules de Riemann et de Genocchi, dés- 

 accord sur lequel ce dernier s'exprime lui-même très modestement. Toutes les difficultés 

 du développement de Riemann sont ramenées par là à la détermination du développement 

 de ls\r), problème qui peut être traité indépendamment de la théorie des nombres premiers. 

 En outre, relativement aux racines a. nous avons donné quelques indications qui ne seront 

 pas sans utilité pour des recherches futures. D'une importance plus pratique est cependant 

 la forme élégante que nous avons donnée à la fonction P(x), forme qui a le grand avan- 

 tage de pouvoir se prêter à un calcul numérique facile. 



De plus, et ce n'est pas sans importance, nous avons reproduit un certain nombre 

 de recherches éparses et peu connues sur la théorie des nombres et, en les mettant en 

 relation avec la fonction ij){x) de M. Tchebycheff, montré qu'elles conduisent aussi à 

 considérer non pas la fonction ff{x), mais &{x), comme celle qui doit jouer le premier rôle 

 dans ces recherches. 



Nous sommes arrivé ainsi, par des considérations tirées de la théorie môme des 

 nombres, à indiquer le rôle que le logarithme intégral doit jouer dans la détermination de 

 la totalité des nombres premiers, et, bien que la démonstration ne soit pas complètement 

 satisfaisante, elle l'est cependant assez pour que, par celte voie, on eût pu être conduit à 

 faire de Li(x) une formule d'approximation de &{x), même si la formule de Riemann n'avait 

 pas déjà été connue. Il semble en même temps qu'en poussant plus loin ce genre de 

 recherches, il serait possible d'obtenir une preuve certaine que la limite de l'erreur dépend 



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