306 124 



de Vx , mais cela exigerait sans doule préalablement une étude plus approfondie des restes 

 qu'on trouve en divisant un nombre par tous ceux qui le précèdent dans la suite naturelle 

 des nombres. En effet, la difficulté que nous avons toujours rencontrée pour resserrer les 

 limites dont il s'agit provient, entre autres, précisément de la circonstance que, pour des 



il fi 



différences de la forme E — , on ne peut, même lorsqu'on en a une somme, obtenir 



des limites plus étroites que et I. Qu'il y ait vraiment quelque cbose à faire dans cette 

 voie, c'est ce qui ressort, en particulier, du mémoire souvent cité de M. Berger. Une 

 discussion plus approfondie des problèmes qui se rattachent à des séries renfermant des 

 facteurs fiix), semble également devoir être très désirable pour l'avancement de ces recherches, 

 car on arriverait peut-être aussi par là à combler les lacunes que présente notre travail. 



Enfin , nous considérons comme le résultat le plus important de nos recherches 

 d'avoir montré que tous les travaux antérieurs indiquent le logarithme intégral Li{x) comme 

 formule d'approximation de ê[x), et que <tt{x) peut êlre représentée approximativement par 

 une expression de la forme x — const. Plusieurs circonstances indiquent que la solution 

 complète du problème qui nous occupe n'excède pas les ressources de l'analyse moderne, 

 et nous espérons que ce travail pourra contribuer à orienter les investigateurs futurs dans 

 les différents points de vue sous lesquels il peut être considéré, et à en faciliter ainsi 

 indirectement la solution. 



Supplément: Sur le calcul de la fonction Li{e'\. 



Pour déterminer les valeurs de Li(e x ) données dans la table 11, j'ai calculé les 

 différences entre deux valeurs de Li(e r ) correspondant à des intervalles égaux. En effet, 

 comme „„+., p v x ^ 



Va 1/0 L«A> vu vu 



il s'agira seulement de calculer successivement des intégrales de la forme: 



A 7 „ = — \ «' r ( — ) dx, 



a \ \ a 

 vo 



'J0 



g" 

 oii n est un nombre entier et x < a. Si l'on pose N„ = — A„, on trouvera sans difficulté 



par intégration partielle une formule récurrente à l'aide de laquelle les N consécutifs pourront 

 être facilement déterminés, et on obtiendra le même résultat en calculant une fois pour toutes 



les intégrales V e x x n dx correspondant à des valeurs déterminées de x. En prenant pour a 



Jo 

 un nombre entier et « = 1, cette manière de procéder a donné, après détermination pré- 

 alable des puissances en question de «, un moyen relativement simple pour calculer 

 Li(e" +i ) — Li(e"\ pour a= 16 à 20, et ces valeurs, conjointement avec celles calculées 

 auparavant par MM. Bretschneider et Glaisher, ont ensuite pu servir à contrôler le 

 calcul plus détaillé qu'exigent les intervalles plus petits. 



