454 4 



derpaa: Det er de benævnte Tal. Man ved jo, hvorledes den rene Mathematik plejer at 

 skynde sig bort fra disse Begreber med saadan Hast, at man senere har ondt ved at faa tal 

 paa dem igjen, naar man faar Brug for dem i Anvendelserne. De benævnte Tal ligne de 

 egentlige, ubenævnte, Tal deri, at de have Addition og Subtraktion med ganske samme 

 Regler; Manglen af Multiplikation er her det Kjendetegn, som viser, at de benævnte Tal 

 kun kunne regnes for tallignende Bestemmelser, men ikke for egentlige Tal. 



Vi skal da her søge Tallet defineret. Men er det nu ikke noget, som beror paa 

 en ren Vilkaarlighed? Staar det os ikke frit at definere ganske efter Behag, naar vi blot 

 fastholde den Definition, vi vælge? Ja og Nej! Vor Frihed faar af Hensyn til Sprogbrug 

 og almindelig Vedtægt en Indskrænkning derved, at vi erklære at ville definere, netop, hvad 

 Tal er. Det vilde ikke være nogen logisk Fejl, men vel højst upassende, dersom Tallene 

 ifølge vor Definition fik ganske nye Egenskaber, dersom det, som alle hidtil have været 

 enige om at kalde Tal, blev udelukket, og Begreber, som ingen tidligere kunde falde paa 

 at kalde Tal, blev tagne med. Ud af vor Definition bor man kunne bevise alle de vel- 

 bekjendte almindelige Sætninger om Tallene, eller ogsaa kunde der være Tale om at benytte 

 selve disse Sætninger som Definition. 



I sidste Tilfælde vilde det være nødvendigt, i hvert Fald var det et ønskeligt For- 

 arbejde for Definitionen, kritisk at undersøge de enkelte mathematiske Hovedsætninger. 

 Man maatte udskyde ikke blot alle de Sætninger, som ikke gjælde for alle de gamle Tal, 

 men ogsaa saadanne, hvis almene Gyldighed for disse kan bevises ved andre principale Sæt- 

 ninger. At optage bevislige Sætninger i Definitionen vilde være en Fejl, selv om de gjælde 

 for alt, hvad vi nu kalde Tal, thi hvis de ikke skulde gjælde overfor en ellers mulig Ud- 

 videlse af Talbegrebet, vilde ogsaa dette kunne bevises, og saadant kunde da vel medføre 

 en Inddeling af Tallene men ikke være en Hindring for denne Udvidelse. Endnu vig- 

 tigere er det Hensyn, at en saadan overflødig Definition vilde forstyrre Ordenen i Bevis- 

 systemet saaledes, at mange Beviser kunde føres paa flere Maader, noget som, selv om 

 Beviserne føre til samme Resultater, ogsaa kunde tænkes at antyde, at Definitionen skjulte 

 en Selvmodsigelse. Definitionen kan (smlgn. Side 8) næppe gives anderledes end i axio- 

 matisk Form, men saa beror dens Styrke væsentlig paa, at Axiomernes Antal indskrænkes 

 til det mindst mulige. 



Angaaende denne Kritik af Mathematikens Sætninger kan her henvises til en Af- 

 handling i Mathematisk Tidsskrift 1880 Side 33. Det var let nok at se, at Undersøgelsen, 

 der anstilledes med de reelle Tal, kunde begrændses til følgende principale Sætninger, af 

 hvilke de fleste gjælde baade om Additionen og om Multiplikationen; nemlig 

 1) Entydig h edspri n ci p erne: Naar 



a -\- b — c og ab = c , 

 er c utvetydig bestemt ved a og b. 





