10 469 



med dciic uden Fejl. En Konsekvens deraf er, al Forskjelsnumeralerne ogsaa indbyrdes 

 maa llyile over i hinanden og kunne nærme sin hinanden saaledes, at de lilsidsl kunne 

 træde i hinandens Sted uden Forskjcl i noget Resultat, Kontinuitet i den tilsvarende Fore- 

 stillingsgruppe er saaledes Betingelse for, at irrationale Tal kunne opfattes som 

 bestemte ved Tilnærmelse og indordnes blandt de rationale i naturlig Orden. En 

 anden Konsekvens af Kontinuiteten er, at der kan tillægges den ved Tegnet oo betegnede 

 Bestemmelse af et Forskjelsnumeral ved Identitetsnumeralet Betydningen af det uendelig 

 store. Saafremt en Gruppes Forestillinger ikke ere kontinuerte, men diskrete, er del 

 klart, at Bestemmelsen af en vis Forskjel ved selve Identiteten ganske simpelt er umulig; 

 men denne Umulighed brydes, naar Bestemmelsens Udgangsnumeral kan opfattes som en 

 lil Identiteten grændsende Forskjel, som kaldes uendelig lille. 



Som tredie og sidste fra Erfaringen hentede Forhold, der kan tjene lil Forestillin- 

 gernes Inddeling, optræder altsaa Kontinuiteten. Kon tinu i te tsaxiomet , at visse 

 Forskjelsnumeraler nærme sig grændseløst til Identiteten, gjælder for de 

 kontinuerede Forestillinger, men ikke for de diskrete. 



Det sædvanlige Talbegrebs Stilling lil alle disse tre Forhold er nu klar nok , de 

 Forestillingsgrupper, som svare til disse uomtv : stede Tal, ere saadanne, hvor 



1) Enhver Bestemmelse mellem Forskjelsnumeraler (benævnte Tal) er et Numeralsnumeral 

 (ubenævnt Tal). 



2) Ingen Tilføjelse af indbyrdes identiske Forskjelsnumeraler giver Idenlilelsnumeralet, 

 (d. e. Tælningen kan fortsættes uden Grændse). 



3) Kontinuitetsaxiomet gjælder. 



Men Sporgsmaalet er nu, om disse 3 Erfaringsaxiomer ere saaledes uafhængige af 

 hinanden, at de alle tre maa optages i Tallets Definition, eller om det ikke meget mere 

 forholder sig saaledes, at der er en indre Sammenhæng imellem dem, navnlig saaledes, at 

 naar Nummer ét antages, ogsaa Nummer to og tre kunne bevises, om ikke for alle Tal, 

 saa dog for en logisk nødvendig Afdeling af Tallene, medens samtidig ogsaa de øvrige Tals 

 Forhold til Nummer to og tre lader sig bevise ved Nummer ét? 



Hele Resten af dette Arbejde kan opfattes som mit Svar paa dette Sporgsmaal ; 

 men førend jeg gaar dertil, ønsker jeg at bemærke, at hvis man under Benægtelse af den 

 førstnævnte af de tre Sætninger vil studere de Forestillingsgrupper, som have flertydige 



n 



Bestemmelser af B ved *B, og tilsigte en almindelig Behandling af Numcralbegrebet 

 fornemmelig i de Afskygninger, som falde udenfor Talbegrebet, da synes Sætningerne om 

 Identitetens Frembringelse ved Tilfojning og maaske ogsaa om Kontinuiteten at maatle op- 

 fattes som selvstændige Axiomer. 



Jeg har nemlig, hvad jeg dog ikke skal omtale udførligere, forsogt at gjore det 

 andel af de tre Erfaringsresultater, Sætningerne om Identitetens Frembringelse ved Tilføjning, 



59' 



