474 24 



For denne Afhængighed ligesom for de benævnte Tals Addition gjælde Entydigheds og 

 O m v e n d i n g s p r i n c i p e r n e 



o ==s-f (— b) og b = (— a) + s. 

 Specielt er — a-f(— a) og O-fa = a-f >= a. Alt dette, fordi de benævnte Tals Addi- 

 tion som Numeralers Tilføjelse besidder de- tilsvarende Sætninger. Ligeledes findes det 

 associative Princip at maatle gjælde ogsaa for ubenævnte Tals Addition, 



(a-f b) -f e = a -f {b -f c). 

 Derimod kan Spørgsmaalet om det kommutative Princips Gyldighed for ubenævnte Tals 

 Addition ligesaalidt bevises i Almindeligbed, som det kunde bevises for Numeraler i Al- 

 mindelighed. 



Men desuden vise de ubenævnte Tals Addition og Multiplikation sig at være sam- 

 menknyttede ved det ene af de distributive Principer. Vi lade i S = A -f B ligesom oven- 

 for de benævnte Tal A, B og S være bestemte ud fra Enheden E ved a, b og s, s = a-f 6; 

 men desuden bestemme vi de samme benævnte Tal ud fra en anden Enhed F ved a', b' 

 og s', altsaa a'-fô' = «'. Er da E = c . F, vil a'=a.e, b'=b.c oz .«' = *. e, altsaa haves 



for hvilkesomhelst a, /) og e 



a.e -f b.e = (a-f b).'e, 



hvorved del distributive Princip for Multiplikator som Sum er bevist for 



hvilkesomhelst ubenævnte Tal. 



Hermed er nu udtomt, hvad der af Sætninger kan udsiges om de ubenævnte Tal i 

 fuld Almindelighed; men disse Sætninger ere ogsaa netop tilstrækkelige til at danne Grund- 

 laget for lîeviserne for de øvrige Sætninger, altsaa navnlig for de to kommutative Principer 

 og for det fuldstændige distributive Princip for de Talarter, for hvilke disse Sætninger over- 

 hovedet have Gyldighed. Vi maa da nu skride til at inddele Tallene, og herved ville de 

 to Erfaringsprinciper om Identitetens Frembringelse ved Tilføjelse og om Kontinuitet, som 

 have vist sig at være overflødige (undtagen Kontinuiteten for ao's Vedkommende I til Udle- 

 delse af de almindelige principale Sætninger, faa Betydning som Inddelingsgrunde , tildels 

 dog saaledes, at deres erfaringsmæssige Kaiakter lahes, idet den derpaa grundede Inddeling 

 viser sig logisk nødvendig. 



Men ved Siden af den heraf følgende Inddeling bliver ligesom i de sædvanlige 

 Fremstillinger eu anden Inddeling nødvendig, og krydser den første. I hver af dennes 

 Afdelinger maa vi sondre imellem, hvad vi ville kalde nødvendige Tal og Systemer af 

 blot mulige Tal. Først maa vi nemlig behandle de Tal, som nødvendigvis afledes af 

 og I ved de lire Regningsarter, Modsætning, Addition, Reciprocitet og Multiplikation , de 

 Tal nemlig, hvis Existens kræves af Gruppebcgrebets Fordring, til de i snævrere Forstand 

 mathematiske Forestillinger, at ikke hlol Forestillingerne selv, men ogsaa deres Forskjels- 

 numeralor, her benævnte Tal, skulle udgjøre Grupper, al altsaa ethvert af Forestillingernes 



